Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду . Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на
[
1
,
∞
)
{\displaystyle [1,\infty )}
Формулювання теореми [ ред. | ред. код ] Файл:Инт признак Коши.png Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
Площа більшої фігури дорівнює
S
b
=
f
(
1
)
+
f
(
2
)
+
f
(
3
)
+
.
.
.
+
f
(
n
−
1
)
{\displaystyle S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)}
Площа меншої фігури дорівнює
S
s
=
f
(
2
)
+
f
(
3
)
+
f
(
4
)
+
.
.
.
+
f
(
n
)
{\displaystyle S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)}
Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює
S
t
r
=
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx}
Отримуємо
S
s
⩽
S
t
r
⩽
S
b
⇒
S
n
−
a
1
⩽
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
⩽
S
n
−
1
{\displaystyle S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}
Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .
∀
b
>
1
{\displaystyle \forall b>1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
монотонна на
[
1
,
b
]
{\displaystyle [1,b]}
отже
∫
1
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}
∀
x
∈
[
n
,
n
+
1
]
{\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}
f
(
n
)
⩾
f
(
x
)
⩾
f
(
n
+
1
)
{\displaystyle f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)}
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
∫
n
n
+
1
f
(
n
)
d
x
=
f
(
n
)
⩾
∫
n
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⩾
f
(
n
+
1
)
{\displaystyle \int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)}
S
n
=
f
(
1
)
+
.
.
.
+
f
(
n
)
⩾
∫
1
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⩾
S
n
+
1
−
f
(
1
)
{\displaystyle S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant S_{n+1}-f(1)}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
Позначимо
F
(
x
)
=
∫
1
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{1}^{x}f(t)dt}
границі
S
n
{\displaystyle S_{n}}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
Нехай збігається інтеграл
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
S
n
{\displaystyle S_{n}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
∃
lim
n
→
∞
S
n
{\displaystyle \exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}}
Нехай тепер збігається сума
S
n
{\displaystyle S_{n}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
∀
n
{\displaystyle \forall n}
∃
S
⩾
S
n
{\displaystyle \exists S\geqslant S_{n}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
∀
n
{\displaystyle \forall n}
S
⩾
∫
1
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⩾
∫
1
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle S\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
F
(
b
)
{\displaystyle F(b)}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
∃
lim
b
→
+
∞
∫
1
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \exists \lim \limits _{b\to +\infty }\int \limits _{1}^{b}f(x)dx}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)dx}
c
∈
[
a
,
b
)
{\displaystyle c\in [a,b)}
∑
1
n
{\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}
∫
1
∞
1
x
d
x
=
ln
x
|
1
∞
=
∞
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{\infty }=\infty }
∑
1
n
2
{\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}
∫
1
∞
1
x
2
d
x
=
−
1
x
|
1
∞
=
1
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=-\left.{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1}
Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок
r
n
{\displaystyle r_{n}}
S
n
−
a
1
⩽
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
⩽
S
n
−
1
{\displaystyle S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}
за допомогою нескладних перетворень отримуємо:
∫
n
+
1
∞
f
(
x
)
d
x
⩽
r
n
⩽
∫
n
∞
f
(
x
)
d
x
⩽
a
n
+
∫
n
+
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx}
![{\displaystyle [1,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8771aaef108f3cf1381367f4874c74ae7b5e9aa5)
![{\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e410fe44d8231041f54efd701b1b919b487a6)
