Третя похідна

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

У диференційному численні, третя похідна чи похідна третього порядку — це швидкість, з якою змінюється друга похідна, або швидкість зміни швидкості зміни, яка використовується, насамперед, для визначення відхилення. Третя похідна функції $f(x)=y$ можна позначати через:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].$

Перераховані вище позначення є найбільш поширеними.

Позначення

Нехай $f(x)$ — функція деякої змінної х. Тоді третя похідна від $f(x)$ задається наступним чином: $f'''(x)$.

У Нотації Лейбніца: ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)]$.

Приклад

Нехай $f(x)=x^{4}$. Тоді $f'(x)=4x^{3}$ та $f''(x)=12x^{2}$. Тому, третя похідна від f(x):

$f'''(x)=24x$

У Нотації Лейбніца:

${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x$

Застосування у геометрії

У диференціальній геометрії скрут кривої - основна властивість кривої у тривимірному просторі. Скрут кривої обчислюється за допомогою третіх похідних координатних функцій (або вектора положення), що описують криву.

Застосування у фізиці

У фізиці, насамперед у кінематиці, ривок визначається як третя похідна від радіус-вектору об'єкта. Це швидкість, з якою змінюється прискорення. Формула ривку:

$\mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}$

де j ( t ) - функція ривка відносно часу, а r ( t ) - позиційна функція об'єкта відносно часу.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)