Ротор (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, друга — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя — координати функції, яка визначає векторне поле.

 \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix}  \mathbf{i} & \mathbf{j}  & \mathbf{k} \\ 
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 
A_x & A_y & A_z
\end{matrix}  \right| = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + 
\left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + 
\left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенційним.

Позначення[ред.ред. код]

\operatorname{rot} (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або
\operatorname{curl} (в англомовній),
а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:
\mathbf{\nabla} \times.

Приклад[ред.ред. код]

Обертання навколо осі z зі сталою кутовою швидкістю w (траєкторії є колами з центром на z-осі): \mathbf{v} = \langle-wy, wx, 0\rangle.

Тоді \nabla \times \mathbf{v} = \dots = 0\mathbf{\hat i} + 0\mathbf{\hat j} + (w+w)\mathbf{\hat k} = 2w\mathbf{\hat k}. Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.