Радикальна ознака Коші

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ з невід'ємними членами існує таке число $d$, $0<d<1$, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність $\sqrt[n]{a_n}<d$ то даний ряд збігається.

Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильно наступному:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1$

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатнього ряду у граничній формі:

Якщо для ряду $\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;$, то якщо $l<1$ ряд збігається, якщо $l>1$ ряд розбігається.

Доведення

1. Нехай $l < 1$. Очевидно, що існує таке $\varepsilon > 0$, що $l + \varepsilon < 1$. Оскільки існує границя $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\varepsilon$ одержимо:

$\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$- \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l < \varepsilon$

$l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l + \varepsilon$

$(l - \varepsilon)^n < a_n < (l + \varepsilon)^n$

Оскільки $l + \varepsilon < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (l + \varepsilon)^n$ збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ теж збігається.

2. Нехай $l > 1$. Очевидно, що існує таке $\varepsilon > 0$, що $l - \varepsilon > 1$. Оскільки існує границя $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\varepsilon$ одержимо:

$\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$- \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l < \varepsilon$

$l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l + \varepsilon$

$(l - \varepsilon)^n < a_n < (l + \varepsilon)^n$

Оскільки $l - \varepsilon > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (l - \varepsilon)^n$ розбіжний. Тоді за ознакою порівння ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ теж розбіжний.

Приклади

1. Ряд

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}$

2. Розглянемо ряд

$\sum_{n=1}^\infty {(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1} = \lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n+1})}^{n-1} = e^{-2} < 1 \Rightarrow$ряд збіжний

Див. також

• Ознака збіжності Д’Аламбера