Радикальна ознака Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n

з невід'ємними членами існує таке число d, 0<d<1, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність \sqrt[n]{a_n}<d то даний ряд збіжний.

Гранична форма[ред.ред. код]

Умова радикальної ознаки рівносильно наступному:

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатнього ряду у граничній формі:

Якщо для ряду

\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;, то
якщо l<1 ряд збігається,
якщо l>1 ряд розбігається.

Доведення[ред.ред. код]

1. Нехай l < 1. Очевидно, що існує таке \varepsilon > 0, що l + \varepsilon < 1. Оскільки існує границя \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l, то підставивши в означення границі вибране \varepsilon одержимо:

\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon

Розкривши модуль, одержимо:

 - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l  < \varepsilon
 l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n}  < l + \varepsilon
 (l - \varepsilon)^n < a_n  < (l + \varepsilon)^n

Оскільки l + \varepsilon < 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} (l + \varepsilon)^n збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n теж збігається.

2. Нехай l > 1. Очевидно, що існує таке \varepsilon > 0, що l - \varepsilon > 1. Оскільки існує границя \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l, то підставивши в означення границі вибране \varepsilon одержимо:

\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon

Розкривши модуль, одержимо:

 - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l  < \varepsilon
 l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n}  < l + \varepsilon
 (l - \varepsilon)^n < a_n  < (l + \varepsilon)^n

Оскільки l - \varepsilon > 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} (l - \varepsilon)^n розбіжний. Тоді за ознакою порівння ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n теж розбіжний.

Приклади[ред.ред. код]

1. Ряд

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}
збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}

2. Розглянемо ряд

\sum_{n=1}^\infty {(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}  =  \lim_{n \to \infty} {(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1}  = \lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n+1})}^{n-1} =  e^{-2} < 1 \Rightarrow ряд збіжний

Див. також[ред.ред. код]