Теорема Ролля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що свтерджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

Зміст 1 Формулювання 2 Доведення 3 Геометричний зміст теореми 4 Див. також 5 Література

[ред.] Формулювання

Нехай функція неперервна на проміжку , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку . Нехай, окрім того, . Тоді на проміжку знайдеться принаймні одна точка така, що значення похідної у цій точці дорівнює нулю.

Або, коротше кажучи, між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

[ред.] Доведення

Оскільки функція неперервна на проміжку , то, згідно другої теореми Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення и мінімального значення . Отже, маємо два випадки:

1. ;
2. ;

В першому випадку . Тому похідна дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка .

У випадку, коли , оскільки , можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень чи досягається функцією в деякій внутрішній точці проміжка . Але тоді функція має у точці локальний екстремум. Оскільки функція диференційовна в точці , то за означенням екстремуму, .

Теорему доведено.

[ред.] Геометричний зміст теореми

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої рівні, то, згідно теореми Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі .

[ред.] Див. також

• Друга теорема Вейєрштрасса
• Екстремум
• Дотична
• Похідна
• Мішель Ролль
• Карл Вейєрштрасс

[ред.] Література

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
• С. Т. Завало. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. (1972), Київ: Радянська школа.