Теорема Ролля

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

Формулювання

Нехай функція $\!f(x)$ неперервна на проміжку $\![a, b]$, диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку $\![a, b]$. Нехай, окрім того, $\!f(a)=f(b)$. Тоді на проміжку $\!(a, b)$ знайдеться принаймні одна точка $\!c$ така, що значення похідної у цій точці $\!f'(c)$ дорівнює нулю.

Доведення

Оскільки функція $\!f(x)$ неперервна на проміжку $\![a, b]$, то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення $\!M$ та мінімального значення $\!m$. Отже, маємо два випадки:

1. $\!M = \!m$;
2. $\!M > \!m$;

В першому випадку $\!f(x) = \!M = \!m = \!const$. Тому похідна $\!f'(x)$ дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка $\![a, b]$.

У випадку, коли $\!M > \!m$, оскільки $\!f(a)=f(b)$, можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень $\!M$ чи $\!m$ досягається функцією в деякій внутрішній точці $\!c$ проміжка $\![a, b]$. Але тоді функція $\!f(x)$ має у точці $\!c$ локальний екстремум. Оскільки функція $\!f(x)$ диференційовна в точці $\!c$, то за означенням екстремуму, $\!f'(c) = \!0$.

Геометричний зміст теореми

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої $\!y=\!f(x)$ рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі $\!Ox$.

Див. також

• Друга теорема Вейєрштрасса
• Екстремум
• Дотична
• Похідна
• Мішель Ролль
• Карл Вейєрштрасс

Література

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.