Теорема Ролля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Rolle's theorem.svg

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай функція \!f(x) неперервна на проміжку \![a, b], диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку \![a, b]. Нехай, окрім того, \!f(a)=f(b). Тоді на проміжку \!(a, b) знайдеться принаймні одна точка \!c така, що значення похідної у цій точці \!f'(c) дорівнює нулю.

Доведення[ред.ред. код]

Оскільки функція \!f(x) неперервна на проміжку \![a, b], то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення \!M та мінімального значення \!m. Отже, маємо два випадки:

  1. \!M = \!m;
  2. \!M > \!m;

В першому випадку \!f(x) = \!M = \!m = \!const. Тому похідна \!f'(x) дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка \![a, b].

У випадку, коли \!M > \!m, оскільки \!f(a)=f(b), можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень \!M чи \!m досягається функцією в деякій внутрішній точці \!c проміжка \![a, b]. Але тоді функція \!f(x) має у точці \!c локальний екстремум. Оскільки функція \!f(x) диференційовна в точці \!c, то за необхідною умовою локального екстремуму, \!f'(c) = \!0.

Геометричний зміст теореми[ред.ред. код]

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої \!y=\!f(x) рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі \!Ox.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.