Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Теорема Лейбніца  - теорема, що дає достатні умови збіжності ряду в якому знаки біля послідовних елементів чергуються.

Твердження

Нехай для послідовності $(a_i), i \in N$ дійсних чисел виконуються умови:

1. $0 < a_{i+1} < a_i;$
2. $\lim_{i \to \infty}a_i = 0.$

Тоді знакозмінний ряд: $S = \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}a_i$ збігається.

Доведення

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} a_n = \left(a_1 - a_2\right) + \left(a_3 - a_4\right)+\ldots + \left(a_{2N-1} - a_{2N}\right)\,$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2N}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2N}= a_1-\left(a_2 - a_3\right) - \left(a_4 - a_5\right)+\ldots + \left(a_{2N-2} - a_{2N-1}\right)-a_{2N}\,$ тобто $S_{2N} < a_1$.

Отже послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: $S_{2N-1}=S_{2N} + a_{2N}$ і оскільки $a_{2N}$ збігається до нуля, границя $S_{2N-1}$ існує і рівна границі $S_{2N}$. Дане число і буде сумою ряду.

Наслідок

З теорем Лейбніца можна оцінити погрішність обчислення суми ряду:

$S_n = \sum_{i=0}^n a_i.$

Залишок ряду $R_n = S - S_n$ за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

$\left| R_n \right| < \left| a_{n+1} \right|.$

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.