Градієнтна теорема

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Градієнтна теорема, або фундаментальна теорема числення для криволінійних інтегралів, стверджує, що криволінійний інтеграл над градієнтним полем можна розрахувати через розрахунок початкового скалярного поля в кінцевих точках кривої.

Нехай $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ і $\gamma$ є довільною кривою від точки p до q. Тоді

$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

Це є узагальненням фундаментальної теореми числення для будь-якої кривої на площині або у просторі (у загальному n-вимірному випадку), а не лише для дійсних кривих.

Градієнтна теорема стверджує, що криволінійні інтеграли у градієнтному полі не залежать від пройденого шляху. В фізиці ця теорема є однією із форм визначення консервативних сил, де φ означатиме потенціал, а ∇φ це потенціальне векторне поле. Робота яку здійснюють консервативні сили не залежить від шляху, що пройдений об'єктом, а залежить лише від кінцевих точок, як показує наведене вище рівняння.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)