Прямий добуток груп — операція, яка за групами і будує нову групу, яку зазвичай позначають як . Ця операція є теоретико-груповим аналогом декартового добуткумножин та одним з основних прикладів поняття прямого добутку.
Нехай — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення:
.
Нехай і — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи:
Зокрема, якщо і взаємно прості, то порядок дорівнює добутку порядків і .
Як наслідок, якщо і — циклічні групи, порядки яких є взаємно простими числами, то прямий добуток також є циклічною групою. А саме, якщо і взаємно прості, то
Прямий добуток можна розглядати як операцію на групах. Ця операція комутативна та асоціативна з точністю до ізоморфізму: і для любых групп , , і .
Тривіальна група є її одиничним елементом із точністю до ізоморфізму, тобто, якщо — тривіальна група, то для будь-якої групи .
Нехай і — групи, а . Розглянемо наступні дві підмножини:
і .
Обидві ці підмножини є підгрупами, при цьому канонічно ізоморфна , а канонічно ізоморфна . Якщо ми ототожнимо їх із і відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток містить початкові групи і як підгрупи.
Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:
Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку . Іншими словами, якщо — будь-яка група, що має підгрупи і , що задовольняють зазначені вище властивості, то ізоморфна прямому добутку і . У цій ситуації іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп і .
У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:
Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор, де — будь-який елемент у , а — будь-який елемент у .
Тоді — внутрішній прямий добуток двоелементних підгруп і .
Нехай — циклічна група порядку , де і — взаємно прості числа. Тоді і — циклічні підгрупи порядків і відповідно, і — внутрішній прямий добуток цих підгруп.
Нехай — група ненульових комплексних чисел із операцією множення. Тоді є внутрішнім прямим добутком колової групи, що складається з комплексних чисел із модулем , і групи додатних дійсних чисел із операцією множення.
Якщо — непарне число, то дійсна повна лінійна — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи і підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
Група симетріїкуба — внутрішній прямий добуток підгрупи обертань куба та двоелементної групи , де — одиничний елемент, а — точкове відбиття через центр куба. Аналогічний факт справедливий і для групи симетрії ікосаедра.
Прямий добуток можна схарактеризувати такою універсальною властивістю. Нехай і — гомоморфізм проєкції. Тоді для будь-якої групи та будь-яких гомоморфізмів і існує єдиний гомоморфізм , що відповідає такій комутативній діаграмі:
Якщо — підгрупа і — підгрупа , то прямий добуток є підгрупою . Наприклад, ізоморфною копією в є добуток , де — тривіальна підгрупа .
Якщо і нормальні, то — нормальна підгрупа в . Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:
.
Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з є добутком підгрупи з та підгрупи з . Наприклад, якщо — будь-яка нетривіальна група, то добуток має діагональну підгрупу[en]
Два елементи і спряжені в тоді й лише тоді, коли і спряжені в і одночасно і спряжені в . Звідси випливає, що кожен клас спряженості в є декартовим добутком класу спряженості в і класу спряженості в .
Аналогічно, якщо , то централізатор є добутком централізаторів і :
Якщо — автоморфізм, а — автоморфізм , то добуток функцій , що визначається формулою
є автоморфізмом . З цього випливає, що містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку .
У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо — будь-яка група, то існує автоморфізм групи , який міняє місцями два множники, тобто
.
Інший приклад: групою автоморфізмів групи є є група всіх матриць розміру зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним . Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як .
Загалом, кожен ендоморфізм можна записати у вигляді матриці розміру
де — ендоморфізм , — ендоморфізм , а і — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу , а кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу .
Коли і — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: , якщо і не ізоморфні, та , якщо , де позначає сплетення[en]. Це частина теореми Крулля — Шмідта[en], в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.
Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.
Елементи це елементи нескінченного декартового добутку множин ; тобто, елементи нескінченного декартового добутку можна розуміти як функції з такою властивістю, що для будь-якого .
Добуток двох елементів визначають покомпонентно:
.
На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток не породжується елементами ізоморфних підгруп . Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.
Напівпрямий добуток і отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп , має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар , але з трохи складнішим правилом множення.
Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу називають добутком Заппи — Сепа[en] груп і .
Вільний добуток груп і , що зазвичай позначають як , схожий на прямий добуток, за винятком того, що підгрупи і групи не мусять комутувати. А саме, якщо
і ,
є заданнями і , то
.
На відміну від прямого добутку елементів вільного добутку не можна представити впорядкованими парами. До того ж вільний добуток будь-яких двох нетривіальних груп нескінченний. Дивно, але вільний добуток є кодобутком у категорії груп.
Якщо і — групи, то підпрямим добутком і є будь-яка підгрупа , яка відображається сюр'єктивно в і під впливом гомоморфізмів проєкції. Згідно з лемою Ґурса́[en], кожен підпрямий добуток розшарований.
Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (вид. 2nd), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR0356988.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556