Диферінтеграл

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Диферінтеграл — у дробовому численні, частині математичного аналізу, є комбінованим оператором диференціюіання/інтегрування порядок якого може бути довільним дійсним або комплексним числом.

q-диферінтеграл від функції f, позначається

$\mathbb {D} ^{q}f$

і є дробовою похідною (при q > 0) чи дробовим інтегралом (при q < 0). При q = 0, q-диферінтеграл функції тотожний самій функції. Існує багато різних визначень диферінтеграла.

Визначення

Чотири визначення є найбільш поширеними:

• Диферінтеграл Рімана — Ліувіля
  Найпростіше та найуживаніше визначення. Ця формула є узагальненням формули повторного інтегрування Коші. Де, $n=\lceil q\rceil$.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}$$

• Диферінтеграл Грюнвальда — Лєтнікова
  Є прямим узагальненням визначення похідної. Є більш складним у застосування, а має деякі переваги перед попереднім означенням.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}$$

• Диферінтеграл Вейля
  Формально ідентичний першому означенню, але застосовується для періодичних функцій, з нульовим інтегралом на періоді.

• Диферінтеграл Капуто
  На відміну від першого означення, диферінтеграл Капуто від константи $f(t)$ рівний нулю. Більше того, форма Лапласового перетворення дозволяє оцінити початкові умови обчисленням похідної цілого порядку в точці $a$.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}$$

Визначення через перетворення

Позначимо неперервне перетворення Фур'є, як ${\mathcal {F}}$:

$$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

В Фур'є просторі диференціюванню відповідає множення:

$${\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]$$

Тому,

$${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}$$

узагальнюється до

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.$$

При двосторонньому перетворенні Лапласа ${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$, диференціювання заміняється множенням

$${\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].$$

Узагальнюючи до довільного порядку і розв'язуючи відносно $\mathbb {D} ^{q}f(t)$, отримаємо

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.$$

Представлення Н'ютоновими рядами дає інтерполяцію похідними цілих порядків:

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).$$

Для всіх визначень похідних часткового рорядку справедливо:

$\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}$

$\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)$

$\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}$

Основні властивості

• лінійність
  $$\mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)$$

$$\mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)$$

• Правило нуля
  $$\mathbb {D} ^{0}f=f$$
• Правило для добутку
  $$\mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)$$
• Властивість напівгрупи:

$\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b}f(t).$

зазвичай не виконується.