Теорема Коші про багатогранники

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Коші - теорема з геометрії, названа в честь Оґюстена Коші. Вона стверджує, що опуклі багатогранники у тривимірному просторі з конгруентними відповідними гранями повинні бути конгруентними один одному. Тобто, будь-яка розгортка многогранника формується шляхом розгортання граней багатогранника на пласку поверхню, з додатковою інструкцією для склеювання, яка описує, які грані повинні бути з'єднані, і це все однозначно визначає форму початкового багатогранника. Наприклад, якщо з'єднано шість квадратів у шаблоні куба, то вони повинні утворювати куб: бо не існує опуклий багатогранник із шістьма квадратними гранями, які з'єднаними таким же чином, але не мають такої ж форми.

Це є фундаментальним результатом в теорії жорсткості[en]: одним з наслідків теореми є те, що, якщо створювати фізичну модель опуклого багатогранника, з'єднуючи разом жорсткі пластини для кожної з граней багатогранника з гнучкими петлями уздовж краю багатогранника, то цей ансамбль пластин та петель обов'язково утворить жорстку структуру.

Твердження[ред. | ред. код]

Нехай P та Q будуть комбінаторно еквівалентними 3-вимірними опуклими багатогранниками; тобто вони є опуклими багатогранниками з ізоморфними ґратками граней. Припустимо далі, що кожна пара відповідних граней з P і Q є конгруентними одна до одної, тобто існує рух, якій переводить одну в іншу. Тоді P та Q конгруентні.

Історія[ред. | ред. код]

Результат виник в Началах Евкліда, де тіла називаються рівними, якщо у них рівні грані. Ця версія результату була доведена Коші в 1813 році на основі більш ранньої роботи Лагранжа. Помилка в доведенні Коші головної леми була виправлена Ернстом Стейнітцем[en], Ісааком Якобом Шенбергом[en] та Олександром Даниловичем Александровим. Виправлений доказ Коші настільки короткий і елегантний, що він вважається одним з Доказів з КНИГИ[en].[1]

Узагальнення та пов'язані результати[ред. | ред. код]

  • Результат не виконується на площині або для неопуклих багатогранників в : існують неопуклі згинані многогранники, що мають одну або більше ступенів свободи руху і які зберігають форми своїх граней. Зокрема, ними будудь октаедри Брікара[en] - це згинанні поверхні з самоперетином, знайдені французьким математиком Раулем Брікаром[en] в 1897 році. Сфера Конеллі - згинний неопуклий многогранник без самоперетинів гомеоморфний двовимірній сфері був знайдений Робертом Коннеллі 1977 року.
  • Хоча спочатку теорема Коші була доведена у тривимірному просторі, пізніше теорема була узагальнена на простори більшої вимірності О.Д. Александровим (1950).
  • Теорема жорсткості Коші є наслідком теореми Коші і стверджує, що опуклий багатогранник не може бути деформований так, щоб його грані залишалися жорсткими.
  • У 1974 році Герман Глюк показав, що в певному сенсі майже всі (неопуклі) багатогранники є жорсткими.
  • Теорема жорсткості Дена є продовженням теореми жорсткості Коші до інфінітезимальної жорсткості. Цей результат був отриманий Деном[en] в 1916 році.
  • Теорема єдиності Александрова[en] доведена О.Д. Александровим (1950), узагальнює теорему Коші. Вана твердить, що опуклий багатогранник однозначно описується метричним простором геодезичних на її поверхні. Аналогічна теорема єдиності для гладких поверхонь була доведена Кон-Фоссеном 1927 року. Теорема єдиності Погорєлова узагальнила ці результати на загальні опуклі поверхні.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2014). Proofs from THE BOOK. Springer. с. 91–93.