Напівправильний многогранник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Каталанові тіла)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Напівправильні многогранники — низка опуклих многогранників, які не є правильними[1], але мають деякі їхні ознаки, серед яких однаковість усіх граней, всі грані є правильними многокутниками, просторова симетрія. Визначення може диференціюватися включаючи різні види многогранників, та в першу чергу сюди відносять архімедові тіла.

Архімедові тіла

[ред. | ред. код]
Докладніше: Архімедове тіло

Архімедові тіла — опуклі многогранники, із двома властивостями:

Історичні спогади приписують побудову перших напівправильних многогранників Архімеду, хоча доказових праць щодо обґрунтування ним принципів їх побудови не знайдено.

Каталанові тіла

[ред. | ред. код]

Тіла, двоїсті архімедовим, так звані каталанові тіла, мають конгруентні грані (переводяться одна в одну зсувом, обертанням або відбиттям), рівні двогранні кути та правильні многогранні кути. Каталанові тіла теж іноді називають напівправильними многогранниками. У цьому випадку напівправильними многогранниками вважають сукупність архімедових і каталанових тіл. Архімедові тіла є напівправильними многогранниками в тому сенсі, що їхні грані – правильні многокутники, але вони не однакові, а каталанові – в тому сенсі, що їхні грані однакові, але не є правильними многокутниками; при цьому для тих і тих зберігається умова одного з типів просторової симетрії: тетраедричного, октаедричного або ікосаедричного.

Тобто, напівправильними в цьому випадку називають тіла, в яких відсутня тільки одна з перших двох із таких властивостей правильних тіл:

В архімедових тіл відсутня друга властивість, у каталанових - перша, третю властивість мають тіла обох видів.

Існує 13 архімедових тіл, два з яких (кирпатий куб і кирпатий додекаедр) не є дзеркально-симетричними і мають ліву та праву форми. Відповідно, існує 13 каталанових тіл.

Список напівправильних многогранників

[ред. | ред. код]
Многогранник — архімедове тіло Грані Вершини Ребра Конфігурація вершини Двоїстий — каталанове тіло Група симетрії


Кубооктаедр
8 трикутників

6 квадратів
12 24 3,4,3,4

Ромбододекаедр
Oh


Ікосододекаедр
20 трикутників

12 п'ятикутників
30 60 3,5,3,5
Ромботриаконтаедр
Ih


Зрізаний тетраедр
4 трикутники

4 шестикутники
12 18 3,6,6
Триакістетраедр
Td


Зрізаний октаедр
6 квадратів

8 шестикутників
24 36 4,6,6
Тетракісгексаедр
(заломлёний куб)
Oh


Зрізаний ікосаедр
12 п'ятикуттників

20 шестикутників
60 90 5,6,6
Пентакісдодекаедр
Ih


Зрізаний куб
8 трикутників

6 восьмикутників
24 36 3,8,8
Триакісоктаедр
Oh


Зрізаний додекаедр
20 трикутників

12 десятикутників
60 90 3,10,10
Триакісікосаедр
Ih


Ромбокубооктаедр
8 трикутників

18 квадратів (6 — у кубічному положенні, 12 — у ромбічному)
24 48 3,4,4,4
Дельтоїдальний ікосітетраедр
Oh
Ромбоікосододекаедр
20 трикутників

30 квадратів

12 п'ятикутників
60 120 3,4,5,4
Дельтоїдальний гексеконтаедр
Ih
Ромбозрізаний кубооктаедр
12 квадратів

8 шестикутників

6 восьмикутників
48 72 4,6,8
Гекзакісоктаедр
Oh
Ромбозрізаний ікосододекаедр
30 квадратів

20 шестикутників

12 десятикутників
120 180 4,6,10
Гекзакісікосаэдр
Ih
Кирпатий куб
32 трикутники


6 квадратів

24 60 3,3,3,3,4
Пентагональний ікосітетраедр
O
Кирпатий додекаедр
80 трикутників


12 п'ятикутників

60 150 3,3,3,3,5
Пентагональний гексеконтаедр
I

Крім архімедових і каталанових тіл, існують нескінченні послідовності многогранників, що належать до напівправильних: ті правильні призми та правильні антипризми, у яких усі ребра рівні.

Використання

[ред. | ред. код]

Каталанові тіла - разом із платоновими тілами, рівногранними біпірамідами і трапецоедрами - використовують як гральні кісточки в деяких настільних іграх (див. світлини). Архімедові тіла, в яких грані не рівноправні і тому мають різні шанси випадання, для цього мало придатні.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія 10-11 клас. — К. : Вежа, 2002. — С. 103. ISBN 966-7091-31-7.

Література

[ред. | ред. код]
  • Гордєєва Є. П., Величко В. Л. Нарисна геометрія. багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007. — 198с.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Ашкинузе В. Г. О числе полуправильных многогранников // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вип. 1 (28 листопада). — С. 107-118.
  • Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями// Записки научных семинаров ЛОМИ. Том 2 -- 1966.