Фазовий простір

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Двовимірний фазовий простір динамічної системи (фазова траєкторія цієї системи має вигляд розбіжної спіралі)

Фáзовий прóстір — багатовимірний простір змінних динамічної системи.

Класична механіка

У гамільтоновій механіці координатами фазового простору є звичайні просторові координати (або узагальнені координати) частинок системи і їхні імпульси (або узагальнені імпульси).

Наприклад, фазовий простір для системи, що складається з однієї вільної матеріальної точки, має 6 вимірів, три з яких -- це три звичайні координати, а ще три -- це компоненти імпульсу. Відповідно, фазовий простір для системи з двох вільних матеріальних точок матиме 12 вимірів і т.д.

Багатовимірний простір, який складається лише із значень координат матеріальних точок заведено називати координатним простором або конфігураційним простором. Іншу складову частину фазового простору, яка є сукупністю значень імпульсів матеріальних точок, називають імпульсним простором.

Суть поняття фазового простору полягає в тому, що поточний стан як завгодно складної системи, зображається в ньому однією єдиною фазовою точкою, а еволюція системи -- зміщеннями цієї точки, які називають фазовими траєкторіями. Крім того, найголовніше, рух цієї точки визначається простими рівняннями Гамільтона, що дозволяє робити висновки про поведінку найскладніших механічних систем.

Див. також Теорема Ліувіля

Дисипативні системи

Дисипативні системи описуються кінетичними рівняннями, в яких змінними можуть бути будь-які фізичні величини, наприклад, концентрації частинок певного роду, температура тощо. Багатовимірний простір, утворений цими змінними теж називають фазовим простором. Еволюція системи описується кривою в цьому просторі, яку називають фазовою траєкторією. Сукупність різних можливих фазових траєкторій називають фазовим портретом.

Квантова механіка

В квантовій механіці координати p та q фазового простору стають ермітовими операторами в гільбертовому просторі, проте можуть в альтернативі зберігати класичну інтерпретацію. Наприклад, власні значення різних операторів можуть бути представлені у вигляді функцій в новому алгебраїчному вигляді. Фазовий простір дає можливість розбудови єдиного формалізму для класичної та квантової механіки.

Оператор еволюції формулюється в термінах дужок Пуасона; в квантовому випадку ці дужки є звичайним комутатором. При цьому класична та квантова механіка будуються на одних і тих аксіомах; вони формулюються в термінах, які мають сенс як в класичній, так і в квантовій механіці.

У кінетиці коливальних процесів

Простір, координатами якого є величини, що характеризують поведінку динамічної системи.

Джерела

• А. М. Федорченко (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.