Кардинальне число

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини A позначається як |A| або Card A.

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора-Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числами

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком $a\cdot b$ двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини $A\times B$, де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем $a^{b}$ кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини $A^{B}$, де a=[A], b=[B].

Арифметика кардинальних чисел

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними тобто:

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$a+b=b+a$

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

$a\cdot b=b\cdot a$

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Мають місце рівності:

$1^{a}=1$

$a^{1}=a$

$0\cdot a=0$

$a+0=a$

$a^{b+k}=a^{b}\cdot a^{k}$

$(a^{b})^{k}=a^{b\cdot k}$

$(a\cdot b)^{k}=a^{k}\cdot b^{k}$

Істинні наступні твердження:

1) якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$

2) якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$

3) якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

4) якщо $a\leq b$, то $a^{k}\leq b^{k}$

Теорема 1.

$[P(A)]=2^{[A]}$ для будь-якої множини А.

Теорема 2.(Г.Кантор)

$2^{a}>a$ для будь-якого кардинального числа а.

Числа алеф

Кардинальне число множини N всіх натуральних чисел (зокрема, і будь-якої зліченної множини) позначають через $\aleph _{0}$ (читається «алеф-нуль»). Кардинальне число континуальних множин позначають c (якщо приймати континуум-гіпотезу, то c дорівнює $\aleph _{1}$; останнє читається як «алеф-один»). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots$. Г. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Гіпотеза континуума

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число $\aleph$ якої розташоване між $\aleph _{0}$ (кардиналом множини натуральних чисел) і $\aleph _{1}$ (кардиналом множини дійсних чисел), тобто $\aleph _{0}$ < $\aleph$ < $\aleph _{1}$.

Див. також

• Потужність множини
• Теорема Кантора-Бернштейна
• Континуум-гіпотеза
• Великі кардинальні числа

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)