Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Від'ємний біноміальний розподіл
Функція ймовірностей
Помаранчева лінія показує математичне сподівання, яке для усіх малюнків дорівнює 10; зелена лінія показує стандартне відхилення. Параметри
r > 0 — number of failures until the experiment is stopped (integer , but the definition can also be extended to reals )p ∈ [0,1] — ймовірність успіху в кожному випробуванні (дійсне число) Носій функції
k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — число успіхів Розподіл імовірностей
k
↦
(
k
+
r
−
1
k
)
⋅
(
1
−
p
)
r
p
k
,
{\displaystyle k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},}
involving a binomial coefficient Функція розподілу ймовірностей (cdf)
k
↦
1
−
I
p
(
k
+
1
,
r
)
,
{\displaystyle k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),}
the regularized incomplete beta function Середнє
p
r
1
−
p
{\displaystyle {\frac {pr}{1-p}}}
Мода
{
⌊
p
(
r
−
1
)
1
−
p
⌋
if
r
>
1
0
if
r
≤
1
{\displaystyle {\begin{cases}{\big \lfloor }{\frac {p(r-1)}{1-p}}{\big \rfloor }&{\text{if}}\ r>1\\0&{\text{if}}\ r\leq 1\end{cases}}}
Дисперсія
p
r
(
1
−
p
)
2
{\displaystyle {\frac {pr}{(1-p)^{2}}}}
Коефіцієнт асиметрії
1
+
p
p
r
{\displaystyle {\frac {1+p}{\sqrt {pr}}}}
Коефіцієнт ексцесу
6
r
+
(
1
−
p
)
2
p
r
{\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {(1-p)^{2}}{pr}}}
Твірна функція моментів (mgf)
(
1
−
p
1
−
p
e
t
)
r
для
t
<
−
log
p
{\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-p}{1-pe^{t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ для }}t<-\log p}
Характеристична функція
(
1
−
p
1
−
p
e
i
t
)
r
при
t
∈
R
{\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ при }}t\in \mathbb {R} }
Генератриса (pgf)
(
1
−
p
1
−
p
z
)
r
для
|
z
|
<
1
p
{\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-p}{1-pz}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ для }}|z|<{\frac {1}{p}}}
Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху
p
{\displaystyle p}
, проведеній до
r
{\displaystyle r}
-го успіху.
Означення
Нехай
{
X
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
— послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі , тобто
X
i
=
{
1
,
p
0
,
q
≡
1
−
p
,
i
∈
N
.
{\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .}
Побудуємо випадкову величину
Y
{\displaystyle Y}
наступним чином. Нехай
k
+
r
{\displaystyle k+r}
— номер
r
{\displaystyle r}
-го успіху в цій послідовності. Тоді
Y
=
k
{\displaystyle Y=k}
. Більш строго, покладемо
S
n
=
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}
. Тоді
Y
=
inf
{
n
∣
S
n
=
r
}
−
r
{\displaystyle Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r}
.
Розподіл випадкової величини
Y
{\displaystyle Y}
, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть:
Y
∼
N
B
(
r
,
p
)
{\displaystyle Y\sim \mathrm {NB} (r,p)}
.
Функції ймовірності і розподілу
Функція ймовірностей випадкової величини
Y
{\displaystyle Y}
має вигляд:
P
(
Y
=
k
)
=
(
k
+
r
−
1
k
)
p
r
q
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots }
.
Функція розподілу
Y
{\displaystyle Y}
кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію :
F
Y
(
k
)
=
I
p
(
r
,
k
+
1
)
{\displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)}
.
Моменти
Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:
M
Y
(
t
)
=
(
p
1
−
q
e
t
)
r
{\displaystyle M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}
,
звідки
E
[
Y
]
=
r
q
p
{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=r{\frac {q}{p}}}
,
Дискретні одновимірні зі скінченним носієм
Дискретні одновимірні з нескінченним носієм
Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку
Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку
Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій
Неперервні одновимірні з носієм змінного типу
Змішані неперервно-дискретні одновимірні
Багатовимірні (спільні)
Напрямкові
Вироджені та сингулярні [en]
Сімейства