Однорідні диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Диференціальне рівняння називається однорідним у одному з двох аспектів.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо його можна записати у вигляді

де та  — однорідні функції від і однакового степеня.[1] У цьому випадку підстановка приводить до рівняння вигляду

що легко розв'язується інтегруванням лівої та правої частин.

Інакше, диференціальне рівняння називається однорідним, якщо воно є однорідною функцією від невідомої функції та її похідних. У випадку лінійних диференціальних рівнянь це означає відсутність вільного члена. Таким чином, рівняння

є однорідним, якщо . У випадку таке рівняння називають неоднорідним.

Розв'язки будь-якого лінійного звичайного диференціального рівняння будь-якого порядку можна вивести інтегруванням з розв'язку відповідного однорідного рівняння, отриманого вилученням вільного члена.

Історія

[ред. | ред. код]

Поняття однорідності було вперше застосовано до диференціальних рівнянь Йоганном Бернуллі у дев'ятому розділі його статті 1726 року De integraionibus aequationum differentialium (Про інтегрування диференціальних рівнянь).[2]

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

[ред. | ред. код]

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку вигляду

є однорідним, якщо обидві функції є однорідними однакового степеня . Таким чином, помноживши кожну змінну на параметр , маємо

і

Отже,

Спосіб розв'язання

[ред. | ред. код]

У співвідношенні

покладемо , щоб перейти до функції однієї змінної :

Тобто

Робимо підстановку ; диференціюємо застосовуючи правило добутку:

Таким чином, у рівнянні відокремлено змінні:

або

яке вже можна проінтегрувати.

Особливий випадок

[ред. | ред. код]

Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

де , , , , ,  — константи та , може бути зведено до однорідного за допомогою лінійної заміни змінних:

де та  — константи.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

[ред. | ред. код]

Лінійне диференціальне рівняння є однорідним, якщо воно є однорідним лінійним рівнянням від невідомої функції та її похідних. З цього випливає, що якщо є розв'язком такого рівняння, то і також є його розв'язком для будь-якої відмінної від нуля константи . Щоб ця умова виконувалася, кожен ненульовий член лінійного диференціального рівняння повинен залежати від невідомої функції або від будь-якої її похідної. Лінійне диференціальне рівняння, для якого ця умова не виконується, називається неоднорідним.

Лінійне диференціальне рівняння може бути представлене як лінійний оператор, що діє на де зазвичай є незалежною змінною, а  — залежною змінною. Таким чином, загальна форма лінійного однорідного диференціального рівняння має вигляд

де  — диференціальний оператор, тобто сума похідних (у цьому випадку визначаємо «нульову похідну» як початкову функцію), помножених на функції , що залежать від :

де функції можуть бути константами, але не можуть усі одночасно дорівнювати нулю.

Наприклад, таке лінійне диференціальне рівняння є однорідним:

тоді як наступні два рівняння є неоднорідними:

Присутність вільного члена є достатньою умовою того, що рівняння є неоднорідним.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Dennis G. Zill (15 березня 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
  2. De integraionibus aequationum differentialium. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1: 167—184. June 1726.

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]