Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:
Множина називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності .
Властивості
— ординал.
Якщо — ординал, то кожен елемент — ординал.
Якщо — ординал, то — ординал (множину позначають через ). Ординали, що збігаються з для деякого , називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал .
Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал .
Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому — найменший елемент довільної множини ординалів, — ординал, не менший за довільний ординал .
Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.
Арифметика ординалів
Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що .