Інтегральна крива

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Три інтегральні криви для поля напрямків відповідного диференціальному рівнянню dy / dx = x² − x − 1.

У математиці, інтегральна крива (англ. integral curve) — параметрична крива, що представляє певний розв'язок для звичайного диференціального рівняння або системи рівнянь. Якщо диференціальне рівняння представлене як векторне поле або поле напрямків, тоді відповідна інтегральна крива дотична до поля в кожній точці.

Інтегральні криві також відомі під іншими назвами, залежно від природи і тлумачення диференціального рівняння або векторного поля. У фізиці, інтегральна крива для електричного або магнітного поля відома як силова лінія, інтегральна крива для поля швидкостей флюїду відома як лінія потоку. В динамічних системах, інтегральна крива для диференціального рівняння, яке керує системою згадується як траєкторія або орбіта.

Визначення

Припустимо, що F — векторне поле: тобто, вектор-функція з декартовими координатами (F₁,F₂,...,F_n); і x(t) парметрична крива з координатами (x₁(t),x₂(t),...,x_n(t)). Тодіx(t) — це інтегральна крива F якщо вона є розв'язком такої автономної системи звичайних диференціальних рівнянь:

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Таку систему можна записати як одне векторне рівняння

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,$

Таке рівняння каже, що дотичний вектор до цієї кривої в будь-якій точці x(t) уздовж кривої є саме вектором F(x(t)), і отже ця крива x(t) є в кожній точці дотичною до векторного поля F.

Див. також

• Ізокліни
• Поле напрямків

Література

• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)