Квадратриса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Рис. 1. Кінематичне визначення квадратриси

Кінематичне визначення[ред.ред. код]

Розглянемо квадрат ABCD (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка E рівномірно рухається по дузі від точки D до точки B; одночасно відрізок A'B' рівномірно рухається з позиції DC в позицію AB. Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса AE та відрізка A'B' опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої[ред.ред. код]

Рис. 2. Квадратриса
\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}.
x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}

Трисекція кута[ред.ред. код]

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай EAB (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

  1. Знаходимо точку F на квадратрисі і її ординату A'.
  2. Відкладаємо на відрізку AA' його третю частину; отримаємо точку H.
  3. Знаходимо на квадратрисі точку K з ординатою H.
  4. Проводимо промінь AK. Кут KAB — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга[ред.ред. код]

Рис. 3. Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса R. Алгебраїчно це означає рішення рівняння : x^2=\pi R^2.

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса AG її нижньої точки дорівнює \frac {2R} {\pi}. Відобразимо це у вигляді пропорції: C:2R=2R:AG, де C = 2 \pi R — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини C. Прямокутник із сторонами R і C/2 буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]