Квадратриса

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Рис. 1. Кінематичне визначення квадратриси

Зміст

1 Кінематичне визначення
2 Рівняння кривої
3 Трисекція кута
4 Квадратура круга
5 Див. також
6 Посилання

Кінематичне визначення [ред.]

Розглянемо квадрат $ABCD$ (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка $E$ рівномірно рухається по дузі від точки $D$ до точки $B$ ; одночасно відрізок $A'B'$ рівномірно рухається з позиції $DC$ в позицію $AB$ . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса $AE$ та відрізка $A'B'$ опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої [ред.]

Рис. 2. Квадратриса

В полярних координатах:

$\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}.$

Виведення

Виведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай $R$ — радіус кола, $\varphi$ — поточний кут $FAG$ , $\rho=AF$ — полярний радіус. Для зручності введемо час $t$ , який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки $E$ по дузі довжиною $\textstyle\frac{\pi}{2}$ можна виразити рівнянням:

$\varphi = \frac{\pi}{2}\cdot (1-t).$

Рівномірний рух відрізка $A'B'$ виразиться рівнянням:

$A'A = \rho \sin \varphi = (1-t) R$

Виключаючи з рівнянь $1-t$ , отримаємо остаточно:

$\rho=\frac{2R\varphi}{\pi\sin \varphi}.$

в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:

$x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Виведення

Приводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану:

$\rho\sin\varphi=\frac{2R}{\pi}\varphi$

Врахувавши $\rho\sin\varphi=y$ , отримаємо

$y=\frac{2R}{\pi}\varphi$

Із геометричних міркувань: $\textstyle\varphi=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$ . Тоді рівняння постане у вигляді:

$\frac{\pi y}{2R}=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$

Беремо тангенс обох частин:

$\operatorname{tg}\frac{\pi y}{2R}=\frac{y}{x}$

тобто

$x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Трисекція кута [ред.]

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай $EAB$ (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

Знаходимо точку $F$ на квадратрисі і її ординату $A'$ .
Відкладаємо на відрізку $AA'$ його третю частину; отримаємо точку $H$ .
Знаходимо на квадратрисі точку $K$ з ординатою $H$ .
Проводимо промінь $AK$ . Кут $KAB$ — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга [ред.]

Рис. 3. Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса $R$ . Алгебраїчно це означає рішення рівняння : $x^2=\pi R^2$ .

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса $AG$ її нижньої точки дорівнює $\frac {2R} {\pi}$ . Відобразимо це у вигляді пропорції: $C:2R=2R:AG$ , де $C = 2 \pi R$ — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини $C$ . Прямокутник із сторонами $R$ і $C/2$ буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.