Локон Аньєзі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Локон Аньєзі

Локон Аньєзі — плоска крива, геометричне місце точок M, для яких виконується співвідношення \textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}, де OA — діаметр кола, BC — напівхорда цього кола, перпендикулярна OA. Свою назву локон Аньєзі отримав на честь італійського математика Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Рівняння[ред.ред. код]

O=(0,0), A=(0,a)

y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}
  • Параметричне рівняння:
\begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases}, де \varphi — кут між OA і OC
\textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi}
\textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

Властивості[ред.ред. код]

  • Локон Аньєзі — крива третього порядку.
  • Діаметр OA єдина вісь симетрії кривої.
  • Крива має один максимум — A(0;a) і дві точки перегину\textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right )
  • В околі вершини A локон наближається до кола діаметра OA. У точці A відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці A: \textstyle R_A=\frac{a}{2}.
  • Площа під графіком S=\pi a^2. Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій \textstyle\mathbb{R}.
  • Об'єм тіла обертання навколо своєї асимптоти (осі OX) \textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2}.

Побудова[ред.ред. код]

Побудова локону Аньєзі

Будується коло діаметра a і дотична до нього. На дотичній обирається система відліку з початком в точці дотику. Будується пряма через обрану точку дотичної і точку кола, протилежну точці дотику. Ця пряма перетинає коло в деякій точці. Через цю точку будується пряма, паралельна дотичній. Точка локону лежить на перетині цієї прямої та перпендикуляра до дотичної в вибраній точці.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]