Логарифмічна спіраль

Побудова логарифмічної спіралі. Анімація.

Логарифмічна спіраль (нахил 10°).

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль — особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis — «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» (фр. spirale logarithmique) першим вжив П'єр Варіньон

Рівняння

У полярних координатах рівняння кривої може бути записано як

$r = ae^{b\theta}\,$

або

$\vartheta = \frac{1}{b} \ln(r/a),$

що пояснює назву «логарифмічна».

У параметричній формі його може бути записано як

$x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,$

$y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,$

де a, b- дійсні числа.

Властивості

• Кут, що утворюється дотичною в довільній точці логарифмічної спіралі з радіус-вектором точки дотику, постійний і залежить лише від параметра $b.$
  • У термінах диференціальної геометрії це може бути записано як

    $\frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \frac b{\sqrt{1+b^2}} = \cos\varphi.$

• Похідна функції $\mathbf{r}'(\vartheta)$ пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли $b=0 \; (\varphi=\pi/2)$ спіраль вироджується в коло радіусу a. Навпаки, коли b прямує до нескінченності $(\varphi \rightarrow 0),$ спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює $\varphi$ до 90 °, називають нахилом спіралі.
• Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до мушлель молюсків і квіток соняшників.

Цікаві факти

Надгробок Бернуллі

• Якоб Бернуллі бажав, щоб на його могилі було викарбувано логарифмічну спіраль, але на його надгробку помилково зобразили спіраль Архімеда. Проте напис, вигравіруваний навколо спіралі згідно з заповітом (лат. EADEM MUTATA RESURGO — «змінена, я знов воскресаю»), свідчить, що мається на увазі саме логарифмічна спіраль, яка має властивість зберігати свою форму після різноманітних перетворень.

Галерея

• 

  Мушля молюска за формою близька до логарифмічної спіралі

• 

  Область низького тиску над Ісландією

• 

  Спіральна галактика «Водоверть»

• 

  Секція множини Мандельброта, що являє собою логарифмічну спіраль