Логарифмічна спіраль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Побудова логарифмічної спіралі. Анімація.
Логарифмічна спіраль (нахил 10°).

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль — особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis — «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» (фр. spirale logarithmique) першим вжив П'єр Варіньон[1]

Рівняння[ред.ред. код]

У полярних координатах рівняння кривої може бути записано як

r = ae^{b\theta}\,

або

\vartheta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

що пояснює назву «логарифмічна».

У параметричній формі його може бути записано як

x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,
y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,

де a, b- дійсні числа.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кут, що утворюється дотичною в довільній точці логарифмічної спіралі з радіус-вектором точки дотику, постійний і залежить лише від параметра b.
  • Похідна функції \mathbf{r}'(\vartheta) пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли b=0 \; (\varphi=\pi/2) спіраль вироджується в коло радіусу a. Навпаки, коли b прямує до нескінченності (\varphi \rightarrow 0), спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює \varphi до 90 °, називають нахилом спіралі.
  • Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до мушлель молюсків і квіток соняшників.

Цікаві факти[ред.ред. код]

Надгробок Бернуллі
  • Якоб Бернуллі бажав, щоб на його могилі було викарбувано логарифмічну спіраль, але на його надгробку помилково зобразили спіраль Архімеда. Проте напис, вигравіруваний навколо спіралі згідно з заповітом (лат. EADEM MUTATA RESURGO — «змінена, я знов воскресаю»), свідчить, що мається на увазі саме логарифмічна спіраль, яка має властивість зберігати свою форму після різноманітних перетворень.

Галерея[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]