Крива Ферма

Крива́ Ферма́ — алгебрична крива на комплексній проєктивній площині, що визначається в однорідних координатах (X:Y:Z) рівнянням Ферма

$X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\$

В евклідовій площині рівняння має вигляд

$x^{n}+y^{n}=1.\$

Цілочисельний ролзв'язок рівняння Ферма відповідає ненульовому раціональному розв'язку евклідового рівняння і навпаки. Відповідно до теореми Ферма при n ≥ 3 немає нетривіальних цілих розв'язків рівняння Ферма, тому крива Ферма не має ненульових раціональних точок.

Крива Ферма несингулярна і має рід

$(n-1)(n-2)/2.\$

Таким чином, крива Ферма має рід 0 для n = 2 (і є конічним перерізом) і рід 1 для n = 3 (і є еліптичною кривою). Многовид Якобі кривої Ферма глибоко вивчено. Він ізоморфний добутку простих абелевих многовидів із комплексним множенням.

Існує узагальнення кривої Ферма на більшу кількість вимірів; у цьому випадку рівняння, аналогічні рівнянню кривої Ферма, визначають проєктивний многовид — многовид Ферма.

Посилання

• Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E. (1978), Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve (PDF), Inventiones Mathematicae, 44 (3): 201—224, doi:10.1007/BF01403161, архів оригіналу (PDF) за 13 липня 2011, процитовано 12 січня 2012