Декартів лист

Декартів лист

Дека́ртів лист — плоска крива третього порядку, котра описується рівнянням у прямокутній системі

$\textstyle x^3 + y^3 = 3axy$.

Параметр $3a$ визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідка

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів лист», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жілем Робервалем, котрий знаходить вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (фр. fleur de jasmin)) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Й. Бернуллі. Назва «декартів лист» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

Рівняння

• В прямокутній системі за визначенням:

$\textstyle x^3 + y^3 = 3axy$

• В полярній системі:

$\rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}$.

• Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови <maty>y = tx</math> запишеться у вигляді:

$\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}$, где $t=\operatorname{tg}\varphi$.

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають наступний вигляд:

• В прямокутній системі:

$y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

• У параметричній формі:

$x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$

• В полярних координатах:

$\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$

Властивості

• Пряма $OA$ — вісь симетрії, її рівняння: $y = x$.
• Точка A називається вершиною, її координати $\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)$.
• Для обох віток існує асимптота $UV$, її рвняння: $x + y + a = 0$.
• Площа області між дугами $ACO$ і $ABO$ $\textstyle S_1 = \frac{l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2$.
• Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі $\textstyle S_2 = S_1 = \frac{3}{2}a^2$.
• Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги $ACO$ навколо осі абсцис $\textstyle V_1 = \frac{\pi l^3}{27} \left(\ln{4}-1\right)$.

Використання

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листа.

Див. також

• Овал Декарта

Джерела

• Махомета Т. М. Історія розвитку вчення про лінії та поверхні в курсі аналітичної геометрії // Didactics of mathematics: Problems and Investigations. – Issue # 35. – 2011. C. 78-82
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. (рос.)

Посилання

• Richard L. Amoroso Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity (англ.)
• Weisstein, Eric W. Folium of Descartes на MathWorld (англ.)