Декартів лист

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Декартів лист

Дека́ртів лист — плоска крива третього порядку, котра описується рівнянням у прямокутній системі

\textstyle x^3 + y^3 = 3axy.

Параметр  3a визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідка[ред.ред. код]

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів лист», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жілем Робервалем, котрий знаходить вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (фр. fleur de jasmin)) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Й. Бернуллі. Назва «декартів лист» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

Рівняння[ред.ред. код]

\textstyle x^3 + y^3 = 3axy
 \rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}.
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови <maty>y = tx</math> запишеться у вигляді:
\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}, где t=\operatorname{tg}\varphi.

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають наступний вигляд:

  • В прямокутній системі:
y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}, где l=\frac{3a}{\sqrt{2}}
  • У параметричній формі:
x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}
  • В полярних координатах:
 \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}

Властивості[ред.ред. код]

  • Пряма OA — вісь симетрії, її рівняння:  y = x .
  • Точка A називається вершиною, її координати \left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right).
  • Для обох віток існує асимптота UV, її рвняння: x + y + a = 0.
  • Площа області між дугами ACO і ABO \textstyle S_1 = \frac{l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2.
  • Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі \textstyle S_2 = S_1 = \frac{3}{2}a^2.
  • Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги ACO навколо осі абсцис \textstyle V_1 = \frac{\pi l^3}{27} \left(\ln{4}-1\right).

Використання[ред.ред. код]

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листа[1].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Петраков Ю. В., Скрипник Т. М. Аналіз технологічних траєкторій при контурному фрезеруванні //Процеси механічної обробки в машинобудуванні. Вип. 11, 2011. С. 195-204.

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]