Евольвента

Приклад побудови евольвенти кривої

Евольвента (від лат. evolvens — що розгортає) плоскої лінії $L$ — це лінія $L_*$ , по відношенню до якої $L$ є еволютою. Іншими словами, це крива, що описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки закріпленої в деякій точці, що змотується з плоскої кривої.

Зміст

1 Рівняння евольвенти
2 Приклад
3 Побудова евольвенти кола по заданому діаметру
4 Застосування
5 Див. також
6 Посилання

Рівняння евольвенти[ред.]

Якщо лінія $l$ задана рівнянням $\bar{r} = \bar{r}(s)$ ( $s$ — натуральний параметр), то рівняння властивості її евольвенти має вигляд

$\bar{\psi} = \bar{r} + (\alpha - s)\dot{\bar{r}}$ ,

де $\alpha$ — довільний параметр.

Для параметрично заданої кривої рівняння евольвенти

$X=x-\frac{x'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

$Y=y-\frac{y'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

Приклад[ред.]

Анімація побудови евольвенти кола

Евольвентою кола є спіралевидна крива, котра описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки, що змотується з кола заданого радіуса. Рівняння евольвенти кола мають вигляд:

$~x = r (\cos(t)+t\sin(t))$

$~y = r (\sin(t)-t\cos(t))$

де $t$ — кут положення на колі точки дотику нитки до кола, a $r$ — радіус кола.

Побудова евольвенти кола по заданому діаметру[ред.]

Евольвента кола

Задане коло з діаметром $d\!$ , з центром в точці $o\!$ . Дане коло ділимо на дванадцять рівних частин. В точках 2, 3, 4 . проводимо дотичні до кола, спрямовані в один бік. Точки евольвенти знаходимо виходячи з того, що при розгортанні кола точка $B^2\!$ , повинна розміщатись від точки 2 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 2, а точка $B^3\!$ , повинна розміщатись від точки 3 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 3 (дві довжини попередньої дуги), і так далі