Евольвента

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклад побудови евольвенти кривої

Евольвента (від лат. evolvens — що розгортає) плоскої лінії L  — це лінія L_*, по відношенню до якої L є еволютою. Іншими словами, це крива, що описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки закріпленої в деякій точці, що змотується з плоскої кривої.

Рівняння евольвенти[ред.ред. код]

Якщо лінія l задана рівнянням \bar{r} = \bar{r}(s) (s — натуральний параметр), то рівняння властивості її евольвенти має вигляд

\bar{\psi} = \bar{r} + (\alpha - s)\dot{\bar{r}},

де \alpha — довільний параметр.

Для параметрично заданої кривої рівняння евольвенти

X=x-\frac{x'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}
Y=y-\frac{y'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Приклад[ред.ред. код]

Анімація побудови евольвенти кола

Евольвентою кола є спіралевидна крива, котра описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки, що змотується з кола заданого радіуса. Рівняння евольвенти кола мають вигляд:

~x = r (\cos(t)+t\sin(t))
~y = r (\sin(t)-t\cos(t))

де t — кут положення на колі точки дотику нитки до кола, a r — радіус кола.

Побудова евольвенти кола по заданому діаметру[ред.ред. код]

Евольвента кола

Задане коло з діаметром d\!, з центром в точці o\!. Дане коло ділимо на дванадцять рівних частин. В точках 2, 3, 4 . проводимо дотичні до кола, спрямовані в один бік. Точки евольвенти знаходимо виходячи з того, що при розгортанні кола точка B^2\!, повинна розміщатись від точки 2 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 2, а точка B^3\!, повинна розміщатись від точки 3 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 3 (дві довжини попередньої дуги), і так далі

Точне положення точок евольвенти отримаємо, відкладаючи по дотичних довжини відповідних дуг. Довжину дуги між точками 1 і 2 визначається за формулою

a=\frac {\pi d}{m},\!

де d\! — діаметр кола; m\! — число частин, на яке розділено коло.

Отримавши низку точок евольвенти сполучаємо їх плавною лінією.

В даному випадку коло з діаметром d\! є еволютою до цієї евольвенти.

Застосування[ред.ред. код]

У техніці форму евольвенти кола мають:

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]