Формула Ньютона — Ляйбніца

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Нехай функція $f(x)$ неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна $F(x)$, тоді визначений інтеграл від функції $f(x)$ можна обчислити за формулою:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Ця формула називається формулою Ньютона—Ляйбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a}^{b}={\Bigl .}F(x){\Bigr |}_{a}^{b}$

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження

Існує дві частини теореми. Інакше кажучи, перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

$F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt.$

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку (a, b), і

$F'(x)=f(x)\,$

для всіх x з (a, b).

Наслідок

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина

Формула Ньютона - Лейбніца (анімація)

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).

Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],

$F'(x)=f(x).\$

Якщо f є інтегровною за Ріманом на [a, b] тоді

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$

Для двох довільних чисел x₁ і x₁ + Δx з [a, b], маємо

$F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt$

і

$F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

Відніманням отримуємо

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)$

Можна показати, що

$\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)

Отже

$\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

Підставляємо попереднє в (1), що дає

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)$

Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число $c(\Delta x)$ з [x₁, x₁ + Δx] таке, що

$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f\left(c(\Delta x)\right)\Delta x.$

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість $c(\Delta x),$ але читач має усвідомлювати, що c залежить від $\Delta x$. Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x.$

Ділення на Δx дає

${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$

Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x₁.

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).$

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x₁.

$F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)$

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x₁, x₁ + Δx], отже x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Також, $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ and $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}.\,$

Тому, відповідно до стискної теореми,

$\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}.$

Підставляємо в (3) і отримуємо

$F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c).$

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

$F'(x_{1})=f(x_{1}).\$

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 [Архівовано 22 лютого 2014 у Wayback Machine.])

Доведення наслідку

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай

$G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$.

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо

$F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,$

що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).$

Доведення другої частини

Доведення через суми Рімана.

Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x₁, …, x_n такі, що

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.\,$

З цього слідує

$F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).\,$

Тепер додамо кожне F(x_i) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

${\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})+\cdots -F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}$

Попереднє можна записати як таку суму:

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})].\qquad (1)$

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

$F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}.$

З цього випливає, що

$F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,$

Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків [x_i−1, x_i]. Згідно з теоремою Лагранжа,

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).\$

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].$

Припущення означає $F'(c_{i})=f(c_{i}).$ Також, $x_{i}-x_{i-1}$ може бути виражено як $\Delta x$ відтинку $i$.

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].\qquad (2)$

Збіжна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони збігаються до інтегралу функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також $\Delta x_{i}$ не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше $\Delta x$, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо

$\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].$

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від $||\Delta x_{i}\|$, тому границя зліва залишається F(b) − F(a).

$F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].$

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, $G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$. Тепер, припустимо $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\ =G(x)-G(a)$. Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми. Наприклад, якщо f(x) = e^−x2, тоді f має первісну, а саме

$G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,$

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади

Задля прикладу обчислимо таке:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx.$

Тут, $f(x)=x^{2}\,$ і ми можемо використати $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ як первісну. Звідси

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.$

Або, загальніше, обчислимо

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt$

Тут, $f(t)=t^{3}\,$ і можна використати $F(t)={\frac {t^{4}}{4}}$ як первісну. Отже

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.$

Або, тотожно,

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.$

Див. також

• Інтегральне числення

Джерела

• Апостол, Том М. (1967), Інтегральне числення, Том. 1: Інтегральне числення функцій однієї змінної зі вступом до лінійної алгебри (вид. друге), Нью Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-00005-1. (англ.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)

Посилання

• Формула Ньютона — Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 412. — 594 с.