Глюонне поле

Квантова теорія поля
Діаграма Фейнмана
Історія
Підґрунтя Теорія поля Калібрувальна інваріантність Симетрія Пуанкаре Квантова механіка Спонтанне порушення симетрії
Симетрії Зарядове спряження Кросинг Парність Часове обернення Симетрія в квантовій механіці
Інструменти Аномалія Ефективна теорія поля Вакуумне очікуване значення Духи Фаддєєва — Попова Діаграми Фейнмана Калібрувальна теорія поля на ґратці Теорема ЛСЦ Корелятор Пропагатор Квантування Регуляризація Перенормування вакуумний стан Теорема Віка Аксіони Вайтмана
Рівняння Рівняння Дірака Рівняння Клейна — Ґордона Рівняння Прока Рівняння Вілера — Девітта Рівняння Баргманна — Вігнера
Стандартна модель Електрослабка взаємодія Механізм Гіґґза Квантова хромодинаміка Квантова електродинаміка Поля Янга-Міллса
Незавершені теорії Квантова гравітація Теорія струн Суперсиметрія Техніколор Теорія всього
Науковці К. Д. Андерсон Ф. Андерсон Бете Бйоркен Боголюбов Каллан Коулман Девітт Дірак Дайсон Англер Фермі Фейнман Фірц Фок Фреліх Ґлешоу Гелл-Манн Гайзенберг Хіґс Гаг Гейген 'т Гофт Кобаясі Лемб Ландау Лі Майорана Маскава Міллс Намбу Нісідзіма Поляков Салам Швінгер Ворд Вайнберг Вейль Вільсон Янґ Юкава

Глюонне поле — 4-векторне поле в теоретичній фізиці елементарних частинок, що описує еволюцію глюонів та задає сильну взаємодію між кварками. Воно відіграє таку роль у квантовій хромодинаміці (КХД), як електромагнітний 4-потенціал у квантовій електродинаміці (КЕД).

Вступ

Глюон може мати 8 кольорових зарядів, тому існує 8 глюонних полів, на відміну від фотонів, які є нейтральними і тому у фотона тільки одне поле. Глюонні поля для кожного кольорового заряду мають «часоподібну» компоненту аналогічну до електричного потенціалу і три «простороподібні» компоненти аналогічні векторному магнітному потенціалу.

${\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{n}(\mathbf {r} ,t)=[\underbrace {{\mathcal {A}}_{0}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{timelike}},\underbrace {{\mathcal {A}}_{1}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{spacelike}}]=[\phi ^{n}(\mathbf {r} ,t),\mathbf {A} ^{n}(\mathbf {r} ,t)]$

де n = 1, 2, … 8 не є показником степеня, а нумерує вісім кольорових зарядів глюона; всі компоненти залежать від радіус-вектора глюона r і часу t. ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}$ — поле скалярів, для деяких компонент часопростору і кольорового заряду глюона. матриці Гелл-Манна λ^a — вісім матриць 3 × 3, які формують матричне подання групи SU(3). Вони також є генераторами групи SU(3) в контексті квантової механіки і теорії поля; генератор можна розглядати як оператор, що відповідає перетворенню симетрії (див. симетрія у квантовій механіці). Ці матриці відіграють важливу роль в КХД, оскільки КХД – калібрувальна теорія, побудована на групі симетрії SU(3). Кожна матриця Гелл-Манна відповідає конкретному кольоровому заряду глюона. Генератори групи також можуть слугувати базисом векторного простору, так що загальне глюонне поле є суперпозицією всіх кольорових полів. З точки зору матриць Гелл-Манна компоненти глюонного поля представлені матрицями 3 × 3, визначаються формулою:

$t_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}\,.$

Або, зібравши компоненти в вектор з чотирьох 3 × 3 матриць,

${\boldsymbol {\mathcal {A}}}(\mathbf {r} ,t)=[{\mathcal {A}}_{0}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{1}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}(\mathbf {r} ,t)]$

Глюонне поле:

${\boldsymbol {\mathcal {A}}}=t_{a}{\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{a}\,.$

Калібрувальні перетворення

Калібрувальні перетворення кожного глюонного поля ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}$, що не змінюють тензор напруженості глюонного поля:

${\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}\rightarrow e^{i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\left({\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}+{\frac {i}{g_{s}}}\partial _{\alpha }\right)e^{-i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}$

де

${\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)=t_{n}\theta ^{n}(\mathbf {r} ,t)\,,$

є матрицею 3 × 3 . θⁿ = θⁿ(r, t) — вісім калібрувальних функцій, залежних від радіус-вектора r і часу t. Калібрувальна коваріантна похідна перетворюється ідентично. Функції θⁿ тут аналогічні калібрувальній функції χ(r, t) при зміні електромагнітного потенціалу A в компонентах простору-часу:

$A'_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=A_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)-\partial _{\alpha }\chi (\mathbf {r} ,t)\,$

Кваркове поле є інваріантним щодо калібрувальних перетворень

$\psi (\mathbf {r} ,t)\rightarrow e^{ig{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\psi (\mathbf {r} ,t).$

Тензор напруженості глюонного поля

Тензор напруженості глюонного поля є тензорним полем другого рангу в просторі-часі, яке характеризує взаємодію між кварками та глюонами.

Компоненти тензора

$G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{g_{s}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,$

де $D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,$ — калібрувальна коваріантна похідна , в якій:

• i — уявна одиниця;
• g_s — стала зв'язку сильної взаємодії;
• t_a = λ_a/2 — матриці Гелл-Манна поділені на 2;
• a — індекс кольору, який може набувати значень від 1 до 8;
• μ — індекс простору-часу, 0 для часоподібних компонент і 1, 2, 3 для простороподібних компонент;
• ${\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$
• ${\mathcal {A}}_{\mu }$ — її чотири компоненти, які при фіксованому калібруванні є функціями, результатом яких є ермітові матриці 3×3 ; *${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ — 32 функції, результатом яких є дійсні значення, по 4 компоненти для кожного з восьми векторних полів.

Розклад комутатора дає:

$G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{s}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }].$

Підставивши $t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }$ і використавши співвідношення $[t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c}$ для матриць Гелл-Манна (з перепозначенням індексів), в яких f ^abc — структурні константи SU(3), кожна компонента напруженості глюонного поля може бути виражена як лінійна комбінація матриць Гелл-Манна наступним чином:

${\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{s}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}g_{s}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,$

так що ::

$G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{s}f^{abc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,.$

Порівняння з електромагнітним тензором

Тензор глюонного поля дуже схожий на тензор електромагнітного в КЕД;

$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.$

Основна відмінність між КХД і КЕД полягає в тому, що напруженість глюонного поля має додаткові умови, які спричиняють взаємодію між глюонами і асимптотичну свободу. Це ускладнює сильні взаємодії, спричиняючи їхню нелінійність, на відміну від лінійної теорії електромагнітної взаємодії. Операції в КХД не комутативні, що робить відповідну лінійну алгебру нетривіальною.

Густина лагранжіана в КХД

Густина лагранжіана безмасових кварків, зв'язаних глюонами:

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi$

де tr — слід матриці 3×G_αβG^αβ, а γ^μ — гамма-матриці Дірака.

Рівняння руху

Рівняння для тензора напруженості глюонного поля — рівняння Янга-Міллса для глюонів та кварків

$\left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{s}j^{\nu }$.

Аналогічно до електричного струму, який є джерелом електромагнітного тензора, струм кольорового заряду є джерелом тензора напруженості глюонного поля і задається рівняннями:

$j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi .$

Кольоровий струм є постійним, оскільки кольоровий заряд зберігається. Отже, кольоровий 4-струм повинен задовольняти рівняння неперервності:

$\partial _{\nu }j^{\nu }=0\,.$

Див. також

• Глюон
• Кварк
• Квантова хромодинаміка
• Квантова механіка
• Матриці Гелл-Манна

Література

• И. М. Дремин, А. В. Леонидов. Кварк-глюонная среда // УФН. — 2010. — Т. 180. — С. 1167—1196.
• The Large Hadron Collider: Harvest of Run 1 с. 4, 65, 356—357, 359, 361, 412, 419, 518 [Архівовано 21 березня 2016 у Wayback Machine.] Опубликована монография по результатам LHC Run 1
• Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, P. Y. Landshoff. Hadrons and Quark-Gluon Plasma. — Cambridge University Press, 2002. — 415 p. — ISBN 9780511037276.