Епіциклоїда
Епіцикло́їда (від грец. ὲπί — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по зовнішній стороні іншого нерухомого кола.
Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.[1]
Початковою точкою епіциклоїди називається така її точка , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від , що і точка опори.[1] Початкові точки є каспами (простими точками звороту) епіциклоїди. Початкові точки епіциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.
Вершиною епіциклоїди називається така її точка , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від .[1]
Будь-яка епіциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.
Епіциклоїда є окремим випадком епітрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.
Окремим випадком епіциклоїди є кардіоїда (епіциклоїда з одним каспом) та нефроїда (епіциклоїда з двома каспами).
Граничні випадки епіциклоїди:
- Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності (), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола.[1]
- Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности (), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.
Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює , а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює , то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно :
При цьому початкова точка епіциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі .
Кут — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі .
Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат епіциклоїди має вигляд:
При цьому епіциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку епіциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю дорівнює .
Можна ввести величину , тоді параметричні рівняння звичайної (неповернутої) епіциклоїди приймуть вигляд:
Величина визначає форму епіциклоїди (див. нижче).
Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі: [2]
де
- кут ;
- радіус твірного (рухомого) кола ;
- радіус напрямного (нерухомого) кола .
Рівняння Чезаро[en] для епіциклоїди має вигляд:[1]
де
,
— радіус кривини епіциклоїди в певній точці;
— довжина дуги епіциклоїди від її початку до цієї точки.
Це рівняння виражає наступну властивість епіциклоїди:
Якщо дуга епіциклоїди котиться без ковзання по прямій , то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої , через яку прокочується вершина епіциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою і по довжині дорівнює половині арки епіциклоїди, а саме: .
Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: .[1]
- Будь-яка епіциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами та .
На першому з них лежать каспи, а на другому — вершини епіциклоїди.
- При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) на кут, кратний , епіциклоїда суміщається сама з собою.[1]
- Якщо — натуральне число, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою порядку;
Крива складається з конгруентних арок, а отже, має вершин та каспів (тобто точок зворотів).
Точок самоперетину не має.
При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (k + 1) повних обертів навколо свого центру.
- Якщо — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дроба, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою порядку;
Крива складається з конгруентних арок, а отже, має вершин та каспів.
Крива має точок самоперетину.
При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (p + q) повних обертів навколо свого центру.
- Якщо — ірраціональне число, то епіциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
- Епіциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
- Будь-яка епіциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл та тотожна з гіпоциклоїдою (точніше гіпоциклоїдою, що належить до типу перициклоїд) з радіусами нерухомого та рухомого кіл та .[1]
- Властивість нормалі та дотичної
Нормаль, що проведена через будь-яку точку епіциклоїди, проходить через відповідну точку дотику твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до епіциклоїди в деякій її точці , проходить через точку напрямного кола, діаметрально протилежну до точки .[1]
- Довжина дуги епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам : [1]
Зокрема, довжина дуги однієї повної арки епіциклоїди дорівнює:
Якщо — натуральне число, то довжина всієї епіциклоїди:
- Площа сектора епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам : [1]
Площа сектора, що описується полярним радіусом епіциклоїди, коли точка пробігає одну її арку: [1]
Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: .
Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою епіциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює
Якщо — натуральне число, то площа фігури, що обмежена повною епіциклоїдою:
Це означає, що фігура, обмежена епіциклоїдою в разів більша за площею, від площі напрямного круга.
- Радіус кривини будь-якої епіциклоїди в деякій її точці , що відповідає полярному куту :
Цю формулу можна записати у вигляді:[1]
де — відрізок, що сполучає точку епіциклоїди і точку опори твірного кола.
В точках звороту епіциклоїди радіус кривини дорівнює
В вершинах епіциклоїди радіус кривини дорівнює
Відношення подібності складає[1] Еволюта має той же центр, що і початкова епіциклоїда. Вершини еволюти збігаються з каспами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану епіциклоїду на кут , а потім відповідно маштабувавши її.
-
k = 1; (кардіоїда)
-
k = 2; (нефроїда)
-
k = 3;
-
k = 4;
-
k = 2.1 = 21/10
-
k = 3.8 = 19/5
-
k = 5.5 = 11/2
-
k = 7.2 = 36/5
- Епіциклоїда // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 161, 168—170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.
- Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.
- Weisstein, Eric W. Епіциклоїда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Epicycloid [Архівовано 24 листопада 2010 у Wayback Machine.], MathWorld
- Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Epicycloid в архіві MacTutor (англ.)
- Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Епіциклоїда на сайті [Mathcurve] , 2017
- Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
- Spirograph -- GeoFun
- Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth