Паралельна крива

Еліпс (показано червоним), його еволюта (синім) і декілька паралельних кривих (зеленим).

Паралельна крива плоскої кривої — обгортка сімейства кіл однакового радіуса, центри яких лежать на заданій кривій. Поняття паралельної кривої — узагальнення поняття паралельної прямої на випадок плоских кривих.

Для параметрично заданої кривої, паралельна крива, що проходить на відстані $\ a$ від даної визначається рівняннями:

$X=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$,

$Y=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$.

Або у векторній формі:

${\vec {r}}=r(t)$

${\vec {R}}={\vec {r}}+a{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\vec {r}}+{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}$,

де матриця ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ відповідає повороту вектора на 90° за годинниковою стрілкою.

Див. також

• Еволюта
• Евольвента

Посилання

• Weisstein, Eric W. Паралельні криві(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.