Декартів лист

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Декартів лист

Дека́ртів лист — плоска крива третього порядку, котра описується рівнянням у прямокутній системі

.

Параметр визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідка[ред.ред. код]

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів лист», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жілем Робервалем, котрий знаходить вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (фр. fleur de jasmin)) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Й. Бернуллі. Назва «декартів лист» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

Рівняння[ред.ред. код]

.
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови <maty>y = tx</math> запишеться у вигляді:
, де .

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають такий вигляд:

  • В прямокутній системі:
, где
  • У параметричній формі:
  • В полярних координатах:

Властивості[ред.ред. код]

  • Пряма  — вісь симетрії, її рівняння: .
  • Точка A називається вершиною, її координати .
  • Для обох віток існує асимптота , її рвняння: .
  • Площа області між дугами і .
  • Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі .
  • Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги навколо осі абсцис .

Використання[ред.ред. код]

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листа[1].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Петраков Ю. В., Скрипник Т. М. Аналіз технологічних траєкторій при контурному фрезеруванні //Процеси механічної обробки в машинобудуванні. Вип. 11, 2011. С. 195-204.

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]