Крива сталої ширини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Трикутник Рело — крива сталої ширини. Сторони квадрата — опорні прямі: кожна сторона дотична до трикутника, але не перетинає його. Трикутник Рело можна обертати, і при цьому він завжди буде торкатися кожної сторони квадрата; таким чином ширина трикутника (відстань між двома опорними прямими) стала.

Крива сталої ширини  — плоска опукла крива, довжина ортогональної проекції якої на будь-яку пряму дорівнює .

Іншими словами, кривою сталої ширини називається плоска опукла крива, відстань між будь-якими двома паралельними опорними прямими якої постійна і дорівнює  — ширині кривої.

Пов'язані означення[ред. | ред. код]

Фігурою сталої ширини називається фігура, межею якої є крива сталої ширини.

Приклади[ред. | ред. код]

Многокутники Рело
Гладка крива сталої ширини, побудована на базі трикутника і складена з фрагментів шести сполучених кіл. Ширина w = a + b — c +2y, де a, b , c — сторони трикутника (a, b > c, y>0).

Фігурами сталої ширини, зокрема, є коло і многокутники Рело (окремий випадок останніх — трикутник Рело). Багатокутники Рело складені з фрагментів кіл і не є гладкими кривими. З сполучених фрагментів кіл можна побудувати і гладку криву сталої ширини (рисунок праворуч), але подальше збільшення гладкості кривої на цьому шляху неможливо.





Функціональне уявлення[ред. | ред. код]

На відміну від наведених вище найпростіших прикладів, криві постійної ширини можуть не збігатися з колом ні на якому кінцевому відрізку і бути всюди як завгодно гладкими. У загальному вигляді фігура постійної ширини   c опорною функцією   задається параметричними рівняннями

,

за умов

  1. отримана крива є опуклою

Згідно елементарної тригонометрії першому умові задовольняє ряд Фур'є такого вигляду:

Якщо коефіцієнти ряду зменшуються досить швидко, то основна крива буде опуклою (без самоперетинів).

Зокрема, опорна функція  породжує криву постійної ширини, для якої знайдено неявне подання до вигляді рівняння для полінома 8-го ступеня

Ця крива є аналітичною функцією в околиці будь-якої точки або від x, або від y і ні в якому разі не збігається з колом.


Джерела[ред. | ред. код]