Дельтоїда

Дельтоїда

Дельто́їда (крива́ Ште́йнера) — плоска крива четвертого порядку, котра описується фіксованою точкою кола, яке котиться по внутрішній стороні іншого кола, радіус якого утричі більший за радіус першого.

Дельтоїда є частковим випадком гіпоциклоїди при відношенні радіусів кіл $k={\frac {R}{r}}=3$.

Історичні дані

Назву крива отримала через подібність за формою з грецькою буквою Δ. Властивості кривої першим вивчав Л. Ейлер в XVIII столітті, а потім Я. Штейнер у XIX.

Рівняння

• Рівняння в прямокутній системі координат:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x+27$

• Рівняння у параметричній формі:

${\begin{cases}x=2r\cos {t}+r\cos(2t)\\y=2r\sin {t}-r\sin(2t)\end{cases}}$, де $t={\frac {\varphi }{3}}$ — третина полярного кута.

Властивості

• Довжина кривої $\textstyle L={\frac {16}{3}}R$, де $R$ — радіус нерухомого кола.
• Площа, що обмежується дельтоїдою, $\textstyle S={\frac {2}{9}}\pi R^{2}$.

Див. також

• Астроїда
• Задача про голку
• Круговий трикутник
• Супереліпс

Посилання

• Weisstein, Eric W. Deltoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Deltoïde [Архівовано 15 січня 2012 у Wayback Machine.]. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables. (фр.)