Релятивістське уповільнення часу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Релятивістське уповільнення часу — ефекти уповільнення часу, що описуються в рамках загальної та спеціальної теорій відносності. Причинами уповільнення часу, відповідно, є знаходження систем відліку на різній відстані від масивного тіла у полі його гравітації та ненульова швидкість руху інерціальної системи відліку відносно непорушного спостерігача. Уповільнення часу не залежить від властивостей годинника, що вимірює час, і є наслідком властивостей простору-часу у певній точці, для якої визначається часовий інтервал.

Уповільнення часу у рамках спеціальної теорії відносності[ред.ред. код]

У рамках спеціальної теорії відносності уповільнення часу є наслідком принципу рівноправності інерціальних систем відліку та перетворень Лоренца, що слідують із нього.

Можна розглянути дві події, просторово-часовий інтервал між якими є часоподібним. Відповідно, часові інтервали \ \Delta t та \ \Delta t' між подіями, що розглядаються відносно нерухомої інерціальної системи відліку A, та інерціальної системи відліку A', що рухається, будуть різними. Можна прийняти, що відносно системи відліку A' простороподібний інтервал дорівнює нулю,

\ \Delta x^\prime, \Delta y^\prime, \Delta z^\prime = 0 \qquad (1),

тобто, координати точки події в цій системі відліку не змінюються.

Якщо розглянути зв'язок часових інтервалів \ \Delta t та \ \Delta t' у рамках перетворення Лоренца часової компоненти лінійного елементу інтервала \ \Delta s при переході від інерціальної системи відліку А' до інерціальної системи відліку А,

\ \Delta t = \frac{\Delta t' + \frac{ \Delta x' v}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},

та врахувати, відповідно до \ (1), що \ \Delta x' = 0, можна отримати кількісне співвідношення між :\ \Delta t та \ \Delta t':

\ \Delta t = \frac{ \Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \qquad (2).

При цьому

\ \Delta x = \frac{ v \Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} .

З \ (2) видно, що найкоротший часовий інтервал між двома подіями буде визначатись тоді, коли відносно інерціальної системи відліку, де знаходиться годинник, виконується умова \ (1).

Якщо тепер розглянути об'єкт, що рухається відносно інерціальної системи відліку А по криволінійній траєкторії зі змінною у часі швидкістю \ v, і розбити його траєкторію на множину безкінечно малих інтервалів, на проходження яких відносно нерухомої інерціальної системи відліку потрібен час \ dt, то, відновідно годиннику у супутній локально-інерціальній інерціальної системи відліку, на проходження того ж інтервалу, згідно з \ (2), буде потрібен час:

\ dt' = dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \Rightarrow dt = \frac{dt'}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \qquad (3).

Тоді сумарний інтервал часу, що вимірюється відносно інерціальної системи відліку А, не залежить від прискорення й буде визначатися інтегралом виразу (3):

\ t_{2} - t_{1} = \int \limits_{0}^{t} \frac{dt'}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \qquad (4).

З \ (4) видно, що часовий інтервал не залежить від прискорення.

Уповільнення часу у рамках загальної теорії відносності[ред.ред. код]

У основі загальної теорії відносності лежить метричний тензор \ g_{ik}(x), де \ i, k = 0, 1, 2, 3, який при зміні координат змінюється таким чином, що величина просторово-часового інтервалу між двома подіями з координатами \ x^{i} та \ x^{i} + dx^{i} залишається незмінною:

\ ds^{2} = g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k} = \text{inv}.

Якщо прийняти, що

\ dx^{1} = dx^{2} = dx^{3},

тобто — годинник нерухомий, можна отримати співвідношення між інтервалом світового,

\ d \tau = \frac{ds}{c} ,

та власного,

\ d t = \frac{dx^{0}}{c} \qquad (5),

часу. Для цього треба врахувати, що інтервал \ ds^{2} світової лінії нерухомого годинника у гравітаційному потенціалі дорівнює

\ ds^{2} = - c^{2} {d \tau}^{2} = - g_{00} {dx^{0}}^{2} \qquad (6).

Тоді, з урахуванням \ (5), \ (6) прийме вигляд:

\ ds ^{2} = -c^{2} d \tau ^{2} = -c^{2} g_{00} {d t}^{2} .

Звідси,

\ d \tau = \sqrt{g_{00}}dt ,

де \ g_{00} = - (1 + \frac{2 \varphi}{c^2}) — функція \ x.

Загальний вираз для уповільнення часу[ред.ред. код]

Нехай об'єкт нерухомий у деякий момент часу. Тоді інтервал між двома подіями, пов'язаними з об'єктом, буде мати вигляд:

\ ds^{2} = -c^{2} dt^{2} \qquad (7).

З іншого боку, \ ds^2 також дорівнює

\ ds^{2} = d \sigma ^{2} - (c^* d \tau \gamma_{ \mu} - dx^{ \mu})^2 \qquad (8),

де \ d \sigma ^{2} — квадратична форма диференціала \ dx^{\mu}, \ \gamma_{\mu} — векторний гравітаційний потенціал, \ c^* = c \sqrt{-g_{00}} — середня швидкість світла, ортогональна вектору \ \gamma_{\mu}.

Прирівнявши \ (8) до виразу \ (7), можна отримати:

\ ds^{2} = -c^{2} dt^{2} = d \sigma ^{2} - (c^*d \tau - \gamma_{ \mu} dx^{ \mu})^2 \Longleftrightarrow cdt = \sqrt{(c^*d \tau  - \gamma_{ \mu} dx^{ \mu})^2 - d \sigma ^{2}} \qquad (9).

Провівши з \ (9) перетворення

\ dt = \sqrt{\frac{1}{c^{2}}(d \tau^{2}((c^* - \frac{dx^{\mu}}{d \tau})^2) - d \sigma ^{2})} = d \tau \sqrt{( \frac{c \sqrt{-g_{00}}}{c} - \gamma_{ \mu} \frac{dx^{\mu}}{c d \tau})^{2} - (\frac{d \sigma}{c d \tau})^2} = d \tau \sqrt{(\sqrt{-g_{00}} - \gamma_{ \mu}\frac{v_{\mu}}{c})^{2} - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \qquad (10).

Якщо інерційна система відліку часоортогональна, то \ \gamma_{\mu} = 0 і вираз \ (10) набуде вигляду:

\ dt = d \tau \sqrt{-g_{00} - \frac{v^{2}}{c^2}} = d \tau \sqrt{1 + \frac{2 \varphi}{c^2} - \frac{v^{2}}{c^{2}}},

де \ \varphi — скалярний гравітаційний потенціал.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4