Дробове числення: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
доповнення |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
{{Числення|expanded=Спеціалізоване}} |
{{Числення|expanded=Спеціалізоване}} |
||
'''Дробове числення''' |
'''Дробове числення''' — розділ [[математичний аналіз|математичного аналізу]], що вивчає різні способи задання [[оператор (математика)|операторів]] [[похідна|диференціювання]] <math>D</math> |
||
<math display="block">D f(x) = \frac{d}{dx} f(x)\,,</math> |
<math display="block">D f(x) = \frac{d}{dx} f(x)\,,</math> |
||
і |
і [[інтеграл|інтегрування]] <math>J</math> |
||
<math display="block">J f(x) = \int_0^x f(s) \,ds |
<math display="block">J f(x) = \int_0^x f(s) \,ds</math> |
||
дійсного або комплексного порядку. |
|||
і здійснення числення таких операторів, що узагальнює класичне числення. |
|||
== Історія == |
== Історія == |
||
У [[прикладна математика|прикладній математиці]] та математичному аналізі дробова похідна |
У [[прикладна математика|прикладній математиці]] та математичному аналізі дробова похідна — це похідна будь-якого довільного порядку, дійсного чи комплексного. Її перша поява в листі, написаному до [[Гійом де Лопіталь|Гійома де Лопіталя]] [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем]] у 1695 році.<ref name=Derivative>{{cite journal |last=Katugampola |first=Udita N. |date=15 October 2014 |title=A New Approach To Generalized Fractional Derivatives |url=https://www.emis.de/journals/BMAA/repository/docs/BMAA6-4-1.pdf |journal=Bulletin of Mathematical Analysis and Applications |volume=6 |issue=4 |pages=1–15 |arxiv=1106.0965 }}</ref> Приблизно в той самий час Лейбніц написав одному з братів Бернулі, описуючи подібність між біноміальною теоремою та правилом Лейбніца для дробової похідної добутку двох функцій. |
||
Дробове числення було введено в |
Дробове числення було введено в одній з ранніх робіт [[Нільс Генрік Абель|Нільса Генріка Абеля]],<ref>{{cite journal |title=Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solution of a couple of problems by means of definite integrals) |year=1823 |journal=Magazin for Naturvidenskaberne |place=Kristiania (Oslo) |pages=55–68 |author=Niels Henrik Abel |url=https://abelprize.no/sites/default/files/2021-04/Magazin_for_Naturvidenskaberne_oplosning_av_et_par1_opt.pdf}}</ref> у якій можна побачити багато його елементів: ідею дробового інтегрування та дробового диференціювання, взаємно обернений зв'язок між ними, розуміння того, що дробові диференціювання та інтегрування можна розглядати як одну й ту саму узагальнену операцію, і навіть уніфіковану нотацію для диференціювання та інтегрування довільного дійсного порядку.<ref>{{cite journal |doi=10.1515/fca-2017-0057 |title=Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus |year=2017 |journal=Fractional Calculus and Applied Analysis |pages=1068–1075 |last1=Podlubny |first1=Igor |last2=Magin |first2=Richard L. |last3=Trymorush |first3=Irina |volume=20 |issue=5 |arxiv=1802.05441 |s2cid=119664694}}</ref> |
||
Незалежно від нього, основи предмета були закладені [[Жозеф Ліувілль|Ліувіллем]] у статті 1832 року. Самоучка [[Олівер Гевісайд]] представив практичне використання дробових диференціальних операторів в аналізі ліній електропередач приблизно в 1890 році. Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом 19-го та 20-го століть |
Незалежно від нього, основи предмета були закладені [[Жозеф Ліувілль|Ліувіллем]] у статті 1832 року.<ref>{{Citation |last=Liouville |first=Joseph |author-link=Жозеф Ліувілль |year=1832 |title=Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions |journal=Journal de l'École Polytechnique |volume=13 |pages=1–69 |location=Paris |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336778/f2.item.r=Joseph%20Liouville}}.</ref><ref>{{Citation |last=Liouville |first=Joseph |author-link=Жозеф Ліувілль |year=1832 |title=Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques |journal=Journal de l'École Polytechnique |volume=13 |pages=71–162 |location=Paris |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336778/f72.image}}.</ref><ref>For the history of the subject, see the thesis (in French): Stéphane Dugowson, [http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html ''Les différentielles métaphysiques''] (''histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation''), Thèse, Université Paris Nord (1994)</ref> [[Самонавчання|Самоучка]] [[Олівер Гевісайд]] представив практичне використання дробових диференціальних операторів в аналізі ліній електропередач приблизно в 1890 році.<ref>Історичний огляд теми до початку 20-го століття див. тут: {{cite journal |doi=10.1016/0315-0860(77)90039-8 |title=The development of fractional calculus 1695–1900 |year=1977 |journal=Historia Mathematica |pages=75–89 |author=Bertram Ross |volume=4 |s2cid=122146887 |doi-access=}}</ref> Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом 19-го та 20-го століть. Численні автори давали різні визначення дробових похідних та інтегралів.<ref>{{cite journal |last1=Valério |first1=Duarte |last2=Machado |first2=José |last3=Kiryakova |first3=Virginia |date=2014-01-01 |title=Some pioneers of the applications of fractional calculus |journal=Fractional Calculus and Applied Analysis |volume=17 |issue=2 |pages=552–578 |doi=10.2478/s13540-014-0185-1 |hdl=10400.22/5491 |s2cid=121482200 |issn=1314-2224 |hdl-access=free}}</ref> |
||
== Дробові інтеграли == |
== Дробові інтеграли == |
||
Нехай <math>f</math> — функція, визначена на <math>(0, +\infty)</math>. Якщо оператор |
|||
... |
|||
<math display="block">( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \, dt \,</math> взяти двічі від <math>f</math>, то буде |
|||
<math display="block">\begin{align} |
|||
\left( J^2 f \right) (x) &= \int_0^x (Jf)(t) \,dt \\ |
|||
&= \int_0^x \left(\int_0^t f(s) \,ds \right) dt \,. |
|||
\end{align}</math> |
|||
І це можна повторювати довільну кількість разів. За {{нп|формула Коші для повторного інтегрування|формулою Коші для повторного інтегрування|en|Cauchy formula for repeated integration}} |
|||
<math display="block">\left(J^n f\right) ( x ) = \frac{1}{ (n-1) ! } \int_0^x \left(x-t\right)^{n-1} f(t) \, dt \,,</math> |
|||
де {{math|''n''}} — будь-яке натуральне число. |
|||
Використання [[гамма-функція|гамма-функції]] замість факторіала дає оператора дробового інтегрування: |
|||
<math display="block">\left(J^\alpha f\right) ( x ) = \frac{1}{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t) \, dt \,.</math> |
|||
Отриманий таким чином оператор {{math|''J''}} задовольняє наступній умові: |
|||
<math display="block">\begin{align} |
|||
\left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) &= \left(J^\beta\right) \left(J^\alpha f\right)(x) \\ |
|||
&= \left(J^{\alpha+\beta} f\right)(x) \\ |
|||
&= \frac{1}{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha+\beta-1} f(t) \, dt \,. |
|||
\end{align}</math> |
|||
Це відношення називається [[напівгрупа|напівгруповою]] властивістю дробових [[диферінтеграл]]ьних операторів. |
|||
=== Дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля === |
|||
Класичною формою дробового числення є {{нп|інтеграл Рімана-Ліувілля|інтеграл Рімана-Ліувілля|en|Riemann–Liouville integral}}, який, по суті, є тим, що було описано вище. Теорію дробового інтегрування для [[періодична функція|періодичних функцій]] (включаючи «граничну умову» повторення через період) дає {{нп|інтеграл Вейля|інтеграл Вейля|en|Weyl integral}}. Він визначений на рядах Фур'є і вимагає, щоб вільний коефіцієнт тригонометричного ряду дорівнював нулю. Інтеграл Рімана-Ліувілля існує у двох формах, верхній та нижній. На відрізку {{closed-closed|''a'',''b''}} ці форми визначаються як |
|||
<math display="block">\begin{align} |
|||
\sideset{_a}{_t^{-\alpha}}D f(t) &= \sideset{_a}{_t^\alpha}I f(t) \\ |
|||
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau \,,\\ |
|||
\sideset{_t}{_b^{-\alpha}}D f(t) &= \sideset{_t}{_b^\alpha}I f(t) \\ |
|||
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_t^b \left(\tau-t\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau \,. |
|||
\end{align}</math> |
|||
Перша форма справедлива для {{math|''t'' > ''a''}}, а друга — для {{math|''t'' < ''b''}}.<ref>{{cite book |last=Hermann |first=Richard |date=2014 |title=Fractional Calculus: An Introduction for Physicists |edition=2nd |location=New Jersey |publisher=World Scientific Publishing |page=46 |isbn=978-981-4551-07-6 |doi=10.1142/8934 |bibcode=2014fcip.book.....H}}</ref> |
|||
Було запропоновано<ref name=Mainardi/> назвати інтеграл на додатній дійсній піввісі (тобто, {{math|''a'' {{=}} ''0''}}) інтегралом Абеля-Рімана, виходячи з історії відкриття та використання, і в тому ж ключі інтеграл по всій дійсній прямій було названо інтегралом Ліувіля–Вейля. |
|||
=== Дробовий інтеграл Адамара === |
|||
''Дробовий інтеграл Адамара'' був введений [[Жак Соломон Адамар|Жаком Адамаром]]<ref>{{cite journal |last=Hadamard |first=J. |date=1892 |title=Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1892_4_8_A4_0.pdf |journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |volume=4 |issue=8 |pages=101–186}}</ref> і задається наступною формулою |
|||
<math display="block">\sideset{_a}{_t^{-\alpha}}{\mathbf{D}} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t \left(\log\frac{t}{\tau} \right)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}, \qquad t > a\,.</math> |
|||
=== Дробовий інтеграл Атангани-Балеану === |
|||
Дробовий інтеграл Атангана-Балеану для неперервної функції визначається наступним чином: |
|||
<math display="block">\sideset{_{\hphantom{A}a}^\operatorname{AB}}{_t^\alpha}I f(t)=\frac{1-\alpha}{\operatorname{AB}(\alpha)}f(t)+\frac{\alpha}{\operatorname{AB}(\alpha)\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau\,.</math> |
|||
== Дробові похідні == |
== Дробові похідні == |
||
Аналогічний процес для оператора диференціювання {{mvar|D}} є складнішим. Можна показати, що {{mvar|D}} не є ані комутативним, ані адитивним у загальному випадку.<ref>{{cite book |last1=Kilbas |first1=A. Anatolii Aleksandrovich |url=https://books.google.com/books?id=LhkO83ZioQkC |title=Theory And Applications of Fractional Differential Equations |last2=Srivastava |first2=Hari Mohan |last3=Trujillo |first3=Juan J. |date=2006 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-444-51832-3 |page=[{{google books|plainurl=yes|id=LhkO83ZioQkC|page=75}} 75 (Property 2.4)] |language=en}}</ref> |
|||
... |
|||
На відміну від класичних ньютонівських похідних, дробові похідні можна визначити різними способами, які не всі призводять до однакового результату навіть для гладких функцій. Деякі з них визначаються через дробовий інтеграл. Через несумісність визначень часто необхідно чітко вказувати, яке з них використовується. |
|||
[[Файл:Fractionalderivative.gif|thumb|Дробові похідні функції Гаусса — неперервна інтерполяція між функцією та її першою похідною.]] |
|||
=== Дробова похідна Рімана-Ліувілля === |
|||
''Дробова похідна Рімана-Ліувілля'' обчислюється за правилом Лагранжа для диференціальних операторів. Для знаходження похідної {{mvar|α}}-го порядку обчислюється похідна {{mvar|n}}-го порядку від інтеграла порядку {{math|(''n'' − ''α'')}}, де {{mvar|n}} — найменше ціле число, більше за {{mvar|α}} (тобто, {{math|''n'' {{=}} ⌈''α''⌉}}). Дробові похідна та інтеграл Рімана-Ліувілля має декілька застосувань.<ref name="Mostafanejad">{{Cite journal|doi = 10.1002/qua.26762|title = Fractional paradigms in quantum chemistry |year = 2021|last = Mostafanejad |first = Mohammad |journal = International Journal of Quantum Chemistry |volume = 121|issue = 20 |doi-access = free }}</ref><ref name="Al-Raeei">{{Cite journal|doi = 10.1016/j.chaos.2021.111209|title = Applying fractional quantum mechanics to systems with electrical screening effects |year = 2021|last = Al-Raeei|first = Marwan | url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0960077921005634 |journal = Chaos, Solitons & Fractals |volume = 150|issue = September|pages = 111209|bibcode = 2021CSF...15011209A }}</ref> Подібно до визначення інтеграла Рімана-Ліувілля, похідна має верхню та нижню форми.<ref>{{cite book |editor-last=Herrmann |editor-first=Richard |date=2014 |edition=2nd |location=New Jersey |publisher=World Scientific Publishing Co. |page=[https://books.google.com/books?id=60S7CgAAQBAJ&pg=PA54 54]{{Verify source |date=July 2020}}|isbn=978-981-4551-07-6|doi=10.1142/8934 |title=Fractional Calculus}}</ref> |
|||
<math display="block">\begin{align} |
|||
\sideset{_a}{_t^\alpha}D f(t) &= \frac{d^n}{dt^n} \sideset{_a}{_t^{-(n-\alpha)}}Df(t) \\ |
|||
&= \frac{d^n}{dt^n} \sideset{_a}{_t^{n-\alpha}}I f(t)\,, \\ |
|||
\sideset{_t}{_b^\alpha}D f(t) &= \frac{d^n}{dt^n} \sideset{_t}{_b^{-(n-\alpha)}}Df(t) \\ |
|||
&= \frac{d^n}{dt^n} \sideset{_t}{_b^{n-\alpha}}I f(t)\,. |
|||
\end{align}</math> |
|||
=== Дробова похідна Капуто === |
|||
Іншим способом обчислення дробових похідних є дробова похідна Капуто. Її ввів Мікеле Капуто у своїй статті 1967 року.<ref>{{cite journal |last=Caputo |first=Michele |title=Linear model of dissipation whose ''Q'' is almost frequency independent. II |journal=Geophysical Journal International |year=1967 |volume=13 |issue=5 |pages=529–539 |doi=10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x |bibcode=1967GeoJ...13..529C |doi-access=free}}</ref> На відміну від дробової похідної Рімана-Ліувілля, при розв'язуванні диференціальних рівнянь використовуючи означення Капуто не потрібно визначати початкові умови дробового порядку. Означення Капуто вводится наступним чином, де знову {{math|1=''n'' = ⌈''α''⌉}}: |
|||
<math display="block">\sideset{^C}{_t^\alpha}D f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_0^t \frac{f^{(n)}(\tau)}{\left(t-\tau\right)^{\alpha+1-n}}\, d\tau.</math> |
|||
Для <math>\nu \in (n-1, n)</math> дробова похідна Капуто має такий вигляд: |
|||
<math display="block">\sideset{^C}{^\nu}D f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\nu)} \int_0^t (t-u)^{(n-\nu-1)}f^{(n)}(u)\, du\,,</math> |
|||
яка має ту перевагу, що дорівнює нулю, коли {{math|''f''(''t'')}} є константою, а її перетворення Лапласа виражається через початкові значення функції та її похідної. Крім того, існує дробова похідна Капуто на {{closed-closed|''a'',''b''}}, яка визначається як |
|||
<math display="block">\begin{align} |
|||
\sideset{_a^b}{^nu}Df(t) &= \int_a^b \phi(\nu)\left[\sideset{^C}{^\nu}D f(t)\right]\,d\nu \\ |
|||
&= \int_a^b\left[\frac{\phi(\nu)}{\Gamma(1-\nu)}\int_0^t \left(t-u\right)^{-\nu}f'(u)\,du \right]\,d\nu\,, |
|||
\end{align}</math> |
|||
де {{math|''ϕ''(''ν'')}} — вагова функція. |
|||
=== Дробова похідна Капуто-Фабріціо === |
|||
У статті 2015 року М. Капуто та М. Фабріціо представили означення дробової похідної з несингулярним ядром для неперервно-диференційованої функції {{math|''f''}}, заданого за допомогою: |
|||
<math display="block">\sideset{_{\hphantom{C}a}^\text{CF}}{_t^\alpha}Df(t)=\frac{1}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau) \ e^\left(-\alpha\frac{t-\tau}{1-\alpha}\right) \ d\tau,</math> |
|||
де {{nowrap|<math>a < 0, \alpha \in (0,1]</math>.}}<ref>{{cite journal |last1=Caputo |first1=Michele |last2=Fabrizio |first2=Mauro |date=2015 |title=A new Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel |url=https://www.naturalspublishing.com/ContIss.asp?IssID=255 |journal=Progress in Fractional Differentiation and Applications |volume=1 |issue=2 |pages=73–85 |access-date=7 August 2020}}</ref> |
|||
=== Дробова похідна Атангана-Балеану === |
|||
У 2016 році Атангана та Балеану запропонували диференціальні оператори на основі узагальненої [[функція Міттаг-Лефлера|функції Міттага-Леффлера]] {{math|''E''<sub>α</sub>}}. Метою було ввести дробові диференціальні оператори з несингулярним нелокальним ядром. Їхні дробові диференціальні оператори наведено нижче в сенсі Рімана-Ліувілля та Капуто відповідно для неперервно-диференційованої функції {{math|''f''}}:<ref name=Algahtani2016/><ref name="doiserbia.nb.rs">{{cite journal |last1=Atangana |first1=Abdon |last2=Baleanu |first2=Dumitru |date=2016 |title=New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model |url=http://www.doiserbia.nb.rs/Article.aspx?ID=0354-98361600018A |journal=Thermal Science |language=en |volume=20 |issue=2 |pages=763–769 |doi=10.2298/TSCI160111018A |arxiv=1602.03408 |issn=0354-9836 |doi-access=free}}</ref> |
|||
<math display="block">\sideset{_{\hphantom{AB}a}^{\text{ABC}}}{_t^\alpha}D f(t)=\frac{\operatorname{AB}(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau\,.</math> |
|||
Якщо функція {{math|''f''}} неперервна, то похідна Атангана-Балеану в сенсі Рімана-Ліувілля має вигляд |
|||
<math display="block">\sideset{_{\hphantom{AB}a}^{\text{ABC}}}{_t^\alpha}D f(t)=\frac{\operatorname{AB}(\alpha)}{1-\alpha} \frac{d}{dt}\int_a^t f(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau\,.</math> |
|||
Ядро, що використовується в дробовій похідній Атангана-Балеану, має деякі властивості [[функція розподілу ймовірностей|кумулятивної функції розподілу]]. Наприклад, для всіх <math>\alpha \in (0, 1]</math> функція {{math|''E''<sub>α</sub>}} зростає на дійсній прямій, збігається до {{math|''0''}} в {{math|-''∞''}}, і {{nowrap|<math>E_\alpha (0) = 1</math>.}} Отже, функція <math>x \mapsto 1-E_\alpha (-x^\alpha)</math> є кумулятивною функцією розподілу ймовірнісної міри на додатних дійсних числах. Таким чином, визначено розподіл, і будь-який його кратний розподіл називається {{нп|розподіл Міттага-Леффлера|розподілом Міттага-Леффлера|en|Mittag-Leffler distribution}} порядку {{math|''α''}}. Також, всі ці розподіли ймовірностей є [[абсолютна неперервність|абсолютно неперервними]]. Зокрема, функція Міттага-Леффлера має окремий випадок {{math|''E''<sub>1</sub>}}, яка є експонентою. Таким чином, розподіл Міттага-Леффлера порядку {{math|''1''}} є [[експоненційний розподіл|експоненційним розподілом]]. |
|||
=== Дробова похідна Ріса === |
|||
Похідна Ріса визначається як |
|||
<math display="block"> \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial^\alpha u}{\partial \left|x\right|^\alpha} \right\}(k) = -\left|k\right|^{\alpha} \mathcal{F} \{u \}(k), </math> |
|||
де <math>\mathcal{F}</math> позначає [[перетворення Фур'є]].<ref>{{cite journal |last1=Chen |first1=YangQuan |last2=Li |first2=Changpin |last3=Ding |first3=Hengfei |date=22 May 2014 |title=High-Order Algorithms for Riesz Derivative and Their Applications |journal={{нп|Abstract and Applied Analysis|Abstract and Applied Analysis|en|Abstract and Applied Analysis}} |volume=2014 |pages=1–17 |language=en |doi=10.1155/2014/653797 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal |last=Bayın |first=Selçuk Ş. |date=5 December 2016 |title=Definition of the Riesz derivative and its application to space fractional quantum mechanics |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=57 |issue=12 |pages=123501 |arxiv=1612.03046 |doi=10.1063/1.4968819 |bibcode=2016JMP....57l3501B |s2cid=119099201}}</ref> |
|||
=== Інші типи === |
|||
До класичних дробових похідних включають: |
|||
* {{нп|Похідна Грюнвальда-Летнікова|Похідна Грюнвальда-Летнікова|en|Grünwald–Letnikov derivative}}<ref name=deOliveira2014>{{cite journal |last1=de Oliveira |first1=Edmundo Capelas |last2=Tenreiro Machado |first2=José António |date=2014-06-10 |title=A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral |journal=Mathematical Problems in Engineering |volume=2014 |pages=1–6 |language=en |doi=10.1155/2014/238459 |doi-access=free|hdl=10400.22/5497 |hdl-access=free }}</ref><ref name=Aslan2015>{{cite journal |last=Aslan |first=İsmail |date=2015-01-15 |title=An analytic approach to a class of fractional differential-difference equations of rational type via symbolic computation |journal=Mathematical Methods in the Applied Sciences |language=en |volume=38 |issue=1 |pages=27–36 |doi=10.1002/mma.3047 |bibcode=2015MMAS...38...27A |hdl=11147/5562 |s2cid=120881978 |hdl-access=free}}</ref> |
|||
* Похідна Соніна-Летнікова<ref name=Aslan2015/> |
|||
* Похідна Ліувілля<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* [[Диферінтеграл|Похідна Капуто]]<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* Похідна Адамара<ref name=deOliveira2014/><ref>{{cite journal |last1=Ma |first1=Li |last2=Li |first2=Changpin |date=2017-05-11 |title=On hadamard fractional calculus |journal=Fractals |volume=25 |issue=3 |pages=1750033–2980 |doi=10.1142/S0218348X17500335 |bibcode=2017Fract..2550033M |issn=0218-348X}}</ref> |
|||
* Похідна Маршо<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* Похідна Ріса<ref name=Aslan2015/> |
|||
* Похідна Міллера-Росса<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* {{нп|Інтеграл Вейля|Похідна Вейля|en|Weyl integral}}<ref>{{cite book |last=Miller |first=Kenneth S. |title=Fractional Calculus and Its Applications |chapter=The Weyl fractional calculus |date=1975 |pages=80–89 |editor-last=Ross |editor-first=Bertram |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=457 |publisher=Springer |language=en |doi=10.1007/bfb0067098 |isbn=978-3-540-69975-0}}</ref><ref>{{cite journal |last=Ferrari |first=Fausto |date=January 2018 |title=Weyl and Marchaud Derivatives: A Forgotten History |journal=Mathematics |language=en |volume=6 |issue=1 |pages=6 |doi=10.3390/math6010006 |doi-access=free|arxiv=1711.08070 }}</ref><ref name=deOliveira2014/> |
|||
* {{нп|Оператор Ерделі-Кобер|Похідна Ерделі-Кобера|en|Erdelyi–Kober operator}}<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* <math>F^{\alpha}</math>-похідна<ref name="Ali">{{cite book |last= Khalili Golmankhaneh|first= Alireza |date=2022 |title=Fractal Calculus and its Applications |url=https://worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/12988#t=aboutBook|location=Singapore |publisher= World Scientific Pub Co Inc|page=328 |doi= 10.1142/12988 |isbn=978-981-126-110-7 |s2cid= 248575991 }}</ref> |
|||
Нові дробові похідні включають в себе: |
|||
* Похідна Коїмбри<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* [[Дробові оператори Катугампола|Похідна Катугампола]]<ref>{{cite journal |last1=Anderson |first1=Douglas R. |last2=Ulness |first2=Darin J. |date=2015-06-01 |title=Properties of the Katugampola fractional derivative with potential application in quantum mechanics |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=56 |issue=6 |pages=063502 |doi=10.1063/1.4922018 |bibcode=2015JMP....56f3502A |issn=0022-2488}}</ref> |
|||
* Похідна Гільфера<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* Похідна Девідсона<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* Похідна Чена<ref name=deOliveira2014/> |
|||
* Похідна Капуто-Фабріціо<ref name=Algahtani2016>{{cite journal |last=Algahtani |first=Obaid Jefain Julaighim |date=2016-08-01 |title=Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0960077916301059 |journal=Chaos, Solitons & Fractals |series=Nonlinear Dynamics and Complexity |language=en |volume=89 |pages=552–559 |doi=10.1016/j.chaos.2016.03.026 |bibcode=2016CSF....89..552A |issn=0960-0779}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Caputo |first1=Michele |last2=Fabrizio |first2=Mauro |date=2016-01-01 |title=Applications of New Time and Spatial Fractional Derivatives with Exponential Kernels |journal=Progress in Fractional Differentiation and Applications |volume=2 |issue=1 |pages=1–11 |doi=10.18576/pfda/020101 |issn=2356-9336}}</ref> |
|||
* Похідна Атангана-Балеану<ref name=Algahtani2016/><ref name="doiserbia.nb.rs"/> |
|||
== Узагальнення == |
== Узагальнення == |
||
=== Оператор Ерделі-Кобера === |
|||
== Функціональне числення == |
|||
''Оператор Ерделі-Кобера'' — це інтегральний оператор, введений {{нп|Артуром Ерделі|Артур Ерделі|en|Arthur Erdélyi}}<ref>{{cite journal |last=Erdélyi |first=Arthur |title=On some functional transformations |journal=Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino |volume=10 |pages=217–234 |year=1950–1951 |mr=0047818}}</ref> та {{нп|Германом Кобером|Герман Кобер|en|Hermann Kober}}<ref>{{cite journal |last=Kober |first=Hermann |title=On fractional integrals and derivatives |journal=The Quarterly Journal of Mathematics |volume=os-11 |issue=1 |pages=193–211 |year=1940 |doi=10.1093/qmath/os-11.1.193 |bibcode= 1940QJMat..11..193K}}</ref> у 1940 році і має вигляд |
|||
<math display="block">\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x \left(t-x\right)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) \,dt\,, </math> |
|||
який узагальнює дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля та інтеграл Вейля. |
|||
== Застосування == |
== Застосування == |
||
=== Дробове збереження маси === |
|||
Рівняння дробового збереження маси необхідне для моделювання потоку рідини, коли {{нп|контрольний об'єм|контрольний об'єм|en|control volume}} недостатньо великий порівняно з шкалою {{нп|гомогенність і гетерогенність|гетерогенності|en|Homogeneity and heterogeneity}} і коли потік в контрольному об'ємі є нелінійним:<ref>{{cite journal |last1=Wheatcraft |first1=Stephen W. |last2=Meerschaert |first2=Mark M. |date=October 2008 |title=Fractional conservation of mass |url=https://www.stt.msu.edu/users/mcubed/fCOM.pdf |journal=Advances in Water Resources |language=en |volume=31 |issue=10 |pages=1377–1381 |doi=10.1016/j.advwatres.2008.07.004 |issn=0309-1708 |bibcode=2008AdWR...31.1377W}}</ref> |
|||
<math display="block">-\rho \left(\nabla^\alpha \cdot \vec{u} \right) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha} \rho \left (\beta_s+\phi \beta_w \right ) \frac{\partial p}{\partial t}\,. </math> |
|||
=== Електрохімічний аналіз === |
|||
При вивченні окисно-відновної поведінки субстрату в розчині до поверхні електрода прикладають напругу, щоб змусити електрони переходити між електродом і субстратом. Перенос електронів, що виникає в результаті, вимірюється як струм. Струм залежить від концентрації субстрату на поверхні електрода. Коли підкладка витрачається, свіжа підкладка дифундує до електрода, як описано в [[закони Фіка|законах дифузії Фіка]]. Перетворення Лапласа другого закону Фіка дає звичайне диференціальне рівняння другого порядку (у безрозмірній формі): |
|||
<math display="block">\frac{d^2}{d x^2} C(x,s) = sC(x,s)\,. </math> |
|||
Якщо взяти похідну від {{math|''C''(''x'',''s'')}}, а потім обернене перетворення Лапласа, то отримаємо наступну залежність: |
|||
<math display="block">\frac{d}{d x} C(x,t) = \frac{d^{\scriptstyle{\frac{1}{2}}}}{d t^{\scriptstyle{\frac{1}{2}}}}C(x,t)\,,</math> |
|||
яка пов'язує концентрацію субстрату на поверхні електроду зі струмом.<ref>Oldham, K. B. ''Analytical Chemistry'' 44(1) '''1972''' 196—198.</ref> Ця залежність застосовується в електрохімічній кінетиці для з'ясування механістичної поведінки. Наприклад, вона була використана для вивчення швидкості [[димер (хімія)|димеризації]] субстратів при електрохімічному відновленні.<ref>Pospíšil, L. et al. ''Electrochimica Acta'' 300 '''2019''' 284—289.</ref> |
|||
=== Задача потоку підземних вод === |
|||
У 2013—2014 роках були описані деякі проблеми потоку підземних вод, використовуючи поняття дробової похідної.<ref>{{cite journal |
|||
|last1=Atangana |first1=Abdon |
|||
|last2=Bildik |first2=Necdet |
|||
|title=The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow |
|||
|year=2013 |
|||
|journal=Mathematical Problems in Engineering |
|||
|volume=2013 |
|||
|pages=1–9 |
|||
|doi=10.1155/2013/543026 |
|||
|doi-access=free |
|||
}}</ref><ref>{{cite journal |
|||
|last1=Atangana |first1=Abdon |
|||
|last2=Vermeulen |first2=P. D. |
|||
|title=Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation |
|||
|year=2014 |
|||
|journal=Abstract and Applied Analysis |
|||
|volume=2014 |
|||
|pages=1–11 |
|||
|doi=10.1155/2014/381753 |
|||
|doi-access=free |
|||
}}</ref> Класичний [[закон Дарсі]] було узагальнено, розглядаючи потік води як функцію похідної нецілого порядку від п'єзометричного напору. Цей узагальнений закон і закон збереження маси використали для виведення нового рівняння для потоку підземних вод. |
|||
=== Моделі просторово-часових дробових рівнянь дифузії === |
|||
Аномальні дифузійні процеси в складних середовищах можуть бути добре описані за допомогою моделей рівнянь дифузії дробового порядку.<ref>{{cite journal |last1=Metzler |first1=R. |last2=Klafter |first2=J. |year=2000 |title=The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach |journal=Phys. Rep. |volume=339 |issue=1 |pages=1–77 |doi=10.1016/s0370-1573(00)00070-3 |bibcode=2000PhR...339....1M}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Mainardi |first1=F. |last2=Luchko |first2=Y. |last3=Pagnini |first3=G. |year=2001 |title=The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation |arxiv=cond-mat/0702419 |journal=Fractional Calculus and Applied Analysis |volume=4 |issue=2 |pages=153–192 |bibcode=2007cond.mat..2419M}}</ref> Часова похідна відповідає довготривалому розпаду важкого хвоста, а просторова похідна — нелокальності дифузії. Рівняння просторово-часової дробової дифузії можна записати у вигляді |
|||
<math display="block"> \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=-K (-\Delta)^\beta u.</math> |
|||
Простим продовженням дробової похідної є дробова похідна змінного порядку, при якому {{mvar|α}} і {{mvar|β}} змінюються на {{math|''α''(''x'', ''t'')}} і {{math|''β''(''x'', ''t'')}}. Його можна застосовувати в моделюванні аномальної дифузії.<ref name=Atangana2014a>{{cite journal |
|||
|last1=Atangana |first1=Abdon |
|||
|last2=Kilicman |first2=Adem |
|||
|title=On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative |
|||
|journal=Mathematical Problems in Engineering |
|||
|volume=2014 |
|||
|year=2014 |
|||
|page=9 |
|||
|doi=10.1155/2014/542809 |
|||
|doi-access=free |
|||
}}</ref><ref>{{cite book |last1=Gorenflo |first1=Rudolf |last2=Mainardi |first2=Francesco |title=Processes with Long-Range Correlations |date=2007 |editor-last=Rangarajan |editor-first=G. |series=Lecture Notes in Physics |volume=621 |pages=148–166 |chapter=Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk |doi=10.1007/3-540-44832-2_8 |arxiv=0709.3990 |editor-last2=Ding |editor-first2=M. |bibcode=2003LNP...621..148G |isbn=978-3-540-40129-2 |s2cid=14946568}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Colbrook |first1=Matthew J. |last2=Ma |first2=Xiangcheng |last3=Hopkins |first3=Philip F. |last4=Squire |first4=Jonathan |year=2017 |title=Scaling laws of passive-scalar diffusion in the interstellar medium |journal=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]] |volume=467 |issue=2 |pages=2421–2429 |arxiv=1610.06590 |doi=10.1093/mnras/stx261 |bibcode=2017MNRAS.467.2421C |s2cid=20203131}}</ref> |
|||
=== Моделі структурного згасного коливання === |
|||
Дробові похідні використовуються для моделювання [[в'язкоеластичність|в'язкоеластичного]] [[згасні коливання|згасного коливання]] в певних типах матеріалів, таких як полімери.<ref name=Mainardi>{{cite book |title=Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity |last=Mainardi |first=Francesco |s2cid=118719247 |date=May 2010 |publisher=Imperial College Press |isbn=978-1-84816-329-4 |language=en |doi=10.1142/p614}}</ref> |
|||
=== ПІД-регулятори === |
|||
Узагальнення [[Пропорційно-інтегрально-диференціальний закон регулювання|ПІД-регуляторів]] для використання дробових порядків може збільшити ступінь їхньої свободи. Нове рівняння, що зв'язує ''керуючу змінну'' {{math|''u''(''t'')}} з виміряним ''значенням похибки'' {{math|''e''(''t'')}}, можна записати як |
|||
<math display="block">u(t) = K_\mathrm{p} e(t) + K_\mathrm{i} D_t^{-\alpha} e(t) + K_\mathrm{d} D_t^{\beta} e(t)\,,</math> |
|||
де {{mvar|α}} і {{math|β}} — додатні дробові порядки, а {math|''K''<sub>p</sub>}}, {{math|''K''<sub>i</sub>}}, і {{math|''K''<sub>d</sub>}} — невід'ємні коефіцієнти при [[пропорційний закон регулювання|пропорційному]], інтегральному і похідному членах відповідно (іноді позначається, як {{mvar|P}}, {{mvar|I}}, і {{mvar|D}}).<ref>{{cite journal |last1=Tenreiro Machado |first1=J. A. |last2=Silva |first2=Manuel F. |last3=Barbosa |first3=Ramiro S. |last4=Jesus |first4=Isabel S. |last5=Reis |first5=Cecília M. |last6=Marcos |first6=Maria G. |last7=Galhano |first7=Alexandra F. |date=2010 |title=Some Applications of Fractional Calculus in Engineering |journal=Mathematical Problems in Engineering |language=en |volume=2010 |pages=1–34 |doi=10.1155/2010/639801 |doi-access=free|hdl=10400.22/13143 |hdl-access=free }}</ref> |
|||
=== Рівняння акустичних хвиль для складних середовищ === |
|||
Поширення акустичних хвиль у складних середовищах, таких як біологічні тканини, зазвичай передбачає загасання, що підпорядковується частотному степеневому закону. Таке явище можна описати за допомогою причинно-наслідкового хвильового рівняння, яке включає дробові похідні за часом:<ref>{{cite journal |last1=Holm |first1=S. |last2=Näsholm |first2=S. P. |s2cid=7804006 |year=2011 |title=A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media |journal=Journal of the Acoustical Society of America |volume=130 |issue=4 |pages=2195–2201 |bibcode=2011ASAJ..130.2195H |doi=10.1121/1.3631626 |pmid=21973374|hdl=10852/103311 |hdl-access=free }}</ref> |
|||
<math display="block">\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0\,.</math> |
|||
Такі моделі пов'язані із загальновизнаною гіпотезою про те, що явища множинної релаксації призводять до згасання в складних середовищах.<ref>{{cite journal |last1=Näsholm |first1=S. P. |last2=Holm |first2=S. |s2cid=10376751 |year=2011 |title=Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations |journal=Journal of the Acoustical Society of America |volume=130 |issue=5 |pages=3038–3045 |bibcode=2011ASAJ..130.3038N |doi=10.1121/1.3641457 |pmid=22087931|hdl=10852/103312 |hdl-access=free }}</ref><ref name=Nasholm2>{{cite journal |last1=Näsholm |first1=S. P. |last2=Holm |first2=S. |year=2012 |title=On a Fractional Zener Elastic Wave Equation |journal=Fract. Calc. Appl. Anal. |volume=16 |pages=26–50 |arxiv=1212.4024 |doi=10.2478/s13540-013-0003-1 |s2cid=120348311}}</ref><ref name=HolmNasholm2014>{{cite journal |last1=Holm |first1=S. |last2=Näsholm |first2=S. P. |year=2013 |title=Comparison of fractional wave equations for power law attenuation in ultrasound and elastography |journal=Ultrasound in Medicine & Biology |volume=40 |issue=4 |pages=695–703 |arxiv=1306.6507 |citeseerx=10.1.1.765.120 |doi=10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033 |pmid=24433745 |s2cid=11983716}}</ref><ref name=Holm2019>{{cite book |last=Holm |first=S. |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-14927-7 |title=Waves with Power-Law Attenuation |publisher=Springer and Acoustical Society of America Press |year=2019 |doi=10.1007/978-3-030-14927-7 |isbn=978-3-030-14926-0|s2cid=145880744 }}</ref> |
|||
=== Дробове рівняння Шредінгера у квантовій теорії === |
|||
Дробове [[рівняння Шредінгера]] має такий вигляд:<ref>{{cite journal |last=Laskin |first=N. |year=2002 |title=Fractional Schrodinger equation |journal=Phys. Rev. E |volume=66 |issue=5 |pages=056108 |arxiv=quant-ph/0206098 |citeseerx=10.1.1.252.6732 |doi=10.1103/PhysRevE.66.056108 |pmid=12513557 |bibcode=2002PhRvE..66e6108L |s2cid=7520956}}</ref><ref>{{cite book |doi=10.1142/10541 |title=Fractional Quantum Mechanics |year=2018 |last1=Laskin |first1=Nick |isbn=978-981-322-379-0 |citeseerx=10.1.1.247.5449}}</ref> |
|||
<math display="block">i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_{\alpha } \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\alpha}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t)\,,</math> |
|||
де {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} — [[хвильова функція]], а {{mvar|ħ}} — {{нп|скорочена стала Планка|скорочена стала Планка|en|Planck constant#Reduced Planck constant}}. Функція [[потенціальна енергія|потенціальної енергії]] {{math|''V''('''r''', ''t'')}} залежить від системи. |
|||
{{mvar|D<sub>α</sub>}} — стала з фізичною [[метод аналізу розмірностей|розмірністю]] {{math|1=[''D<sub>α</sub>''] = J<sup>1 − ''α''</sup>·m<sup>''α''</sup>·s<sup>−''α''</sup> = kg<sup>1 − ''α''</sup>·m<sup>2 − ''α''</sup>·s<sup>''α'' − 2</sup>}}, (при {{math|''α'' {{=}} 2}}, <math display="inline">D_2 = \frac{1}{2m}</math> для частинки з масою {{mvar|m}}). Оператор {{math|(−''ħ''<sup>2</sup>Δ)<sup>''α''/2</sup>}} є 3-вимірною дробовою квантовою похідною Ріса, яка визначається як |
|||
<math display="block">(-\hbar^2\Delta)^\frac{\alpha}{2}\psi (\mathbf{r},t) = \frac 1 {(2\pi \hbar)^3} \int d^3 p e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (\mathbf{p},t) \,.</math> |
|||
Індекс {{mvar|α}} у дробовому рівнянні Шредінгера є індексом Леві, {{math|1 < ''α'' ≤ 2}}. |
|||
==== Дробове рівняння Шредінгера змінного порядку ==== |
|||
Як природне узагальнення дробового рівняння Шредінгера, дробове рівняння Шредінгера змінного порядку використовується для вивчення дробових квантових явищ:<ref>{{cite journal |last1=Bhrawy |first1=A.H. |last2=Zaky |first2=M.A. |year=2017 |title=An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations |journal=Applied Numerical Mathematics |volume=111 |pages=197–218 |doi=10.1016/j.apnum.2016.09.009}}</ref> |
|||
<math display="block">i\hbar \frac{\partial \psi^{\alpha(\mathbf{r})} (\mathbf{r},t)}{\partial t^{\alpha(\mathbf{r})} } = \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\beta(t)}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t),</math> |
|||
де оператор {{math|(−''ħ''<sup>2</sup>Δ)<sup>''β''(''t'')/2</sup>}} є дробовою квантовою похідною Ріса змінного порядку. |
|||
== Див. також == |
|||
* [[Простір Соболєва]] |
|||
* [[Метод Кранка-Ніколсон]] |
|||
* [[Неньютонівська рідина]] |
|||
== Примітки == |
|||
{{reflist|2}} |
|||
[[Категорія:Дробове числення| ]] |
[[Категорія:Дробове числення| ]] |
Версія за 00:14, 6 червня 2024
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |
Дробове числення — розділ математичного аналізу, що вивчає різні способи задання операторів диференціювання і інтегрування дійсного або комплексного порядку.
Історія
У прикладній математиці та математичному аналізі дробова похідна — це похідна будь-якого довільного порядку, дійсного чи комплексного. Її перша поява в листі, написаному до Гійома де Лопіталя Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем у 1695 році.[1] Приблизно в той самий час Лейбніц написав одному з братів Бернулі, описуючи подібність між біноміальною теоремою та правилом Лейбніца для дробової похідної добутку двох функцій.
Дробове числення було введено в одній з ранніх робіт Нільса Генріка Абеля,[2] у якій можна побачити багато його елементів: ідею дробового інтегрування та дробового диференціювання, взаємно обернений зв'язок між ними, розуміння того, що дробові диференціювання та інтегрування можна розглядати як одну й ту саму узагальнену операцію, і навіть уніфіковану нотацію для диференціювання та інтегрування довільного дійсного порядку.[3]
Незалежно від нього, основи предмета були закладені Ліувіллем у статті 1832 року.[4][5][6] Самоучка Олівер Гевісайд представив практичне використання дробових диференціальних операторів в аналізі ліній електропередач приблизно в 1890 році.[7] Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом 19-го та 20-го століть. Численні автори давали різні визначення дробових похідних та інтегралів.[8]
Дробові інтеграли
Нехай — функція, визначена на . Якщо оператор взяти двічі від , то буде
І це можна повторювати довільну кількість разів. За формулою Коші для повторного інтегрування[en] де n — будь-яке натуральне число.
Використання гамма-функції замість факторіала дає оператора дробового інтегрування:
Отриманий таким чином оператор J задовольняє наступній умові:
Це відношення називається напівгруповою властивістю дробових диферінтегральних операторів.
Дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля
Класичною формою дробового числення є інтеграл Рімана-Ліувілля[en], який, по суті, є тим, що було описано вище. Теорію дробового інтегрування для періодичних функцій (включаючи «граничну умову» повторення через період) дає інтеграл Вейля[en]. Він визначений на рядах Фур'є і вимагає, щоб вільний коефіцієнт тригонометричного ряду дорівнював нулю. Інтеграл Рімана-Ліувілля існує у двох формах, верхній та нижній. На відрізку [a,b] ці форми визначаються як Перша форма справедлива для t > a, а друга — для t < b.[9]
Було запропоновано[10] назвати інтеграл на додатній дійсній піввісі (тобто, a = 0) інтегралом Абеля-Рімана, виходячи з історії відкриття та використання, і в тому ж ключі інтеграл по всій дійсній прямій було названо інтегралом Ліувіля–Вейля.
Дробовий інтеграл Адамара
Дробовий інтеграл Адамара був введений Жаком Адамаром[11] і задається наступною формулою
Дробовий інтеграл Атангани-Балеану
Дробовий інтеграл Атангана-Балеану для неперервної функції визначається наступним чином:
Дробові похідні
Аналогічний процес для оператора диференціювання D є складнішим. Можна показати, що D не є ані комутативним, ані адитивним у загальному випадку.[12]
На відміну від класичних ньютонівських похідних, дробові похідні можна визначити різними способами, які не всі призводять до однакового результату навіть для гладких функцій. Деякі з них визначаються через дробовий інтеграл. Через несумісність визначень часто необхідно чітко вказувати, яке з них використовується.
Дробова похідна Рімана-Ліувілля
Дробова похідна Рімана-Ліувілля обчислюється за правилом Лагранжа для диференціальних операторів. Для знаходження похідної α-го порядку обчислюється похідна n-го порядку від інтеграла порядку (n − α), де n — найменше ціле число, більше за α (тобто, n = ⌈α⌉). Дробові похідна та інтеграл Рімана-Ліувілля має декілька застосувань.[13][14] Подібно до визначення інтеграла Рімана-Ліувілля, похідна має верхню та нижню форми.[15]
Дробова похідна Капуто
Іншим способом обчислення дробових похідних є дробова похідна Капуто. Її ввів Мікеле Капуто у своїй статті 1967 року.[16] На відміну від дробової похідної Рімана-Ліувілля, при розв'язуванні диференціальних рівнянь використовуючи означення Капуто не потрібно визначати початкові умови дробового порядку. Означення Капуто вводится наступним чином, де знову n = ⌈α⌉:
Для дробова похідна Капуто має такий вигляд: яка має ту перевагу, що дорівнює нулю, коли f(t) є константою, а її перетворення Лапласа виражається через початкові значення функції та її похідної. Крім того, існує дробова похідна Капуто на [a,b], яка визначається як де ϕ(ν) — вагова функція.
Дробова похідна Капуто-Фабріціо
У статті 2015 року М. Капуто та М. Фабріціо представили означення дробової похідної з несингулярним ядром для неперервно-диференційованої функції f, заданого за допомогою: де .[17]
Дробова похідна Атангана-Балеану
У 2016 році Атангана та Балеану запропонували диференціальні оператори на основі узагальненої функції Міттага-Леффлера Eα. Метою було ввести дробові диференціальні оператори з несингулярним нелокальним ядром. Їхні дробові диференціальні оператори наведено нижче в сенсі Рімана-Ліувілля та Капуто відповідно для неперервно-диференційованої функції f:[18][19] Якщо функція f неперервна, то похідна Атангана-Балеану в сенсі Рімана-Ліувілля має вигляд
Ядро, що використовується в дробовій похідній Атангана-Балеану, має деякі властивості кумулятивної функції розподілу. Наприклад, для всіх функція Eα зростає на дійсній прямій, збігається до 0 в -∞, і . Отже, функція є кумулятивною функцією розподілу ймовірнісної міри на додатних дійсних числах. Таким чином, визначено розподіл, і будь-який його кратний розподіл називається розподілом Міттага-Леффлера[en] порядку α. Також, всі ці розподіли ймовірностей є абсолютно неперервними. Зокрема, функція Міттага-Леффлера має окремий випадок E1, яка є експонентою. Таким чином, розподіл Міттага-Леффлера порядку 1 є експоненційним розподілом.
Дробова похідна Ріса
Похідна Ріса визначається як де позначає перетворення Фур'є.[20][21]
Інші типи
До класичних дробових похідних включають:
- Похідна Грюнвальда-Летнікова[en][22][23]
- Похідна Соніна-Летнікова[23]
- Похідна Ліувілля[22]
- Похідна Капуто[22]
- Похідна Адамара[22][24]
- Похідна Маршо[22]
- Похідна Ріса[23]
- Похідна Міллера-Росса[22]
- Похідна Вейля[en][25][26][22]
- Похідна Ерделі-Кобера[en][22]
- -похідна[27]
Нові дробові похідні включають в себе:
- Похідна Коїмбри[22]
- Похідна Катугампола[28]
- Похідна Гільфера[22]
- Похідна Девідсона[22]
- Похідна Чена[22]
- Похідна Капуто-Фабріціо[18][29]
- Похідна Атангана-Балеану[18][19]
Узагальнення
Оператор Ерделі-Кобера
Оператор Ерделі-Кобера — це інтегральний оператор, введений Артур Ерделі[en][30] та Герман Кобер[en][31] у 1940 році і має вигляд який узагальнює дробовий інтеграл Рімана-Ліувілля та інтеграл Вейля.
Застосування
Дробове збереження маси
Рівняння дробового збереження маси необхідне для моделювання потоку рідини, коли контрольний об'єм[en] недостатньо великий порівняно з шкалою гетерогенності[en] і коли потік в контрольному об'ємі є нелінійним:[32]
Електрохімічний аналіз
При вивченні окисно-відновної поведінки субстрату в розчині до поверхні електрода прикладають напругу, щоб змусити електрони переходити між електродом і субстратом. Перенос електронів, що виникає в результаті, вимірюється як струм. Струм залежить від концентрації субстрату на поверхні електрода. Коли підкладка витрачається, свіжа підкладка дифундує до електрода, як описано в законах дифузії Фіка. Перетворення Лапласа другого закону Фіка дає звичайне диференціальне рівняння другого порядку (у безрозмірній формі): Якщо взяти похідну від C(x,s), а потім обернене перетворення Лапласа, то отримаємо наступну залежність: яка пов'язує концентрацію субстрату на поверхні електроду зі струмом.[33] Ця залежність застосовується в електрохімічній кінетиці для з'ясування механістичної поведінки. Наприклад, вона була використана для вивчення швидкості димеризації субстратів при електрохімічному відновленні.[34]
Задача потоку підземних вод
У 2013—2014 роках були описані деякі проблеми потоку підземних вод, використовуючи поняття дробової похідної.[35][36] Класичний закон Дарсі було узагальнено, розглядаючи потік води як функцію похідної нецілого порядку від п'єзометричного напору. Цей узагальнений закон і закон збереження маси використали для виведення нового рівняння для потоку підземних вод.
Моделі просторово-часових дробових рівнянь дифузії
Аномальні дифузійні процеси в складних середовищах можуть бути добре описані за допомогою моделей рівнянь дифузії дробового порядку.[37][38] Часова похідна відповідає довготривалому розпаду важкого хвоста, а просторова похідна — нелокальності дифузії. Рівняння просторово-часової дробової дифузії можна записати у вигляді
Простим продовженням дробової похідної є дробова похідна змінного порядку, при якому α і β змінюються на α(x, t) і β(x, t). Його можна застосовувати в моделюванні аномальної дифузії.[39][40][41]
Моделі структурного згасного коливання
Дробові похідні використовуються для моделювання в'язкоеластичного згасного коливання в певних типах матеріалів, таких як полімери.[10]
ПІД-регулятори
Узагальнення ПІД-регуляторів для використання дробових порядків може збільшити ступінь їхньої свободи. Нове рівняння, що зв'язує керуючу змінну u(t) з виміряним значенням похибки e(t), можна записати як де α і β — додатні дробові порядки, а {math|Kp}}, Ki, і Kd — невід'ємні коефіцієнти при пропорційному, інтегральному і похідному членах відповідно (іноді позначається, як P, I, і D).[42]
Рівняння акустичних хвиль для складних середовищ
Поширення акустичних хвиль у складних середовищах, таких як біологічні тканини, зазвичай передбачає загасання, що підпорядковується частотному степеневому закону. Таке явище можна описати за допомогою причинно-наслідкового хвильового рівняння, яке включає дробові похідні за часом:[43]
Такі моделі пов'язані із загальновизнаною гіпотезою про те, що явища множинної релаксації призводять до згасання в складних середовищах.[44][45][46][47]
Дробове рівняння Шредінгера у квантовій теорії
Дробове рівняння Шредінгера має такий вигляд:[48][49] де ψ(r, t) — хвильова функція, а ħ — скорочена стала Планка[en]. Функція потенціальної енергії V(r, t) залежить від системи.
Dα — стала з фізичною розмірністю [Dα] = J1 − α·mα·s−α = kg1 − α·m2 − α·sα − 2, (при α = 2, для частинки з масою m). Оператор (−ħ2Δ)α/2 є 3-вимірною дробовою квантовою похідною Ріса, яка визначається як
Індекс α у дробовому рівнянні Шредінгера є індексом Леві, 1 < α ≤ 2.
Дробове рівняння Шредінгера змінного порядку
Як природне узагальнення дробового рівняння Шредінгера, дробове рівняння Шредінгера змінного порядку використовується для вивчення дробових квантових явищ:[50] де оператор (−ħ2Δ)β(t)/2 є дробовою квантовою похідною Ріса змінного порядку.
Див. також
Примітки
- ↑ Katugampola, Udita N. (15 October 2014). A New Approach To Generalized Fractional Derivatives (PDF). Bulletin of Mathematical Analysis and Applications. 6 (4): 1—15. arXiv:1106.0965.
- ↑ Niels Henrik Abel (1823). Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solution of a couple of problems by means of definite integrals) (PDF). Magazin for Naturvidenskaberne. Kristiania (Oslo): 55—68.
- ↑ Podlubny, Igor; Magin, Richard L.; Trymorush, Irina (2017). Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus. Fractional Calculus and Applied Analysis. 20 (5): 1068—1075. arXiv:1802.05441. doi:10.1515/fca-2017-0057. S2CID 119664694.
- ↑ Liouville, Joseph (1832), Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions, Journal de l'École Polytechnique, Paris, 13: 1—69.
- ↑ Liouville, Joseph (1832), Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques, Journal de l'École Polytechnique, Paris, 13: 71—162.
- ↑ For the history of the subject, see the thesis (in French): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)
- ↑ Історичний огляд теми до початку 20-го століття див. тут: Bertram Ross (1977). The development of fractional calculus 1695–1900. Historia Mathematica. 4: 75—89. doi:10.1016/0315-0860(77)90039-8. S2CID 122146887.
- ↑ Valério, Duarte; Machado, José; Kiryakova, Virginia (1 січня 2014). Some pioneers of the applications of fractional calculus. Fractional Calculus and Applied Analysis. 17 (2): 552—578. doi:10.2478/s13540-014-0185-1. hdl:10400.22/5491. ISSN 1314-2224. S2CID 121482200.
- ↑ Hermann, Richard (2014). Fractional Calculus: An Introduction for Physicists (вид. 2nd). New Jersey: World Scientific Publishing. с. 46. Bibcode:2014fcip.book.....H. doi:10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6.
- ↑ а б Mainardi, Francesco (May 2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity (англ.). Imperial College Press. doi:10.1142/p614. ISBN 978-1-84816-329-4. S2CID 118719247.
- ↑ Hadamard, J. (1892). Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 4 (8): 101—186.
- ↑ Kilbas, A. Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Theory And Applications of Fractional Differential Equations (англ.). Elsevier. с. 75 (Property 2.4). ISBN 978-0-444-51832-3.
- ↑ Mostafanejad, Mohammad (2021). Fractional paradigms in quantum chemistry. International Journal of Quantum Chemistry. 121 (20). doi:10.1002/qua.26762.
- ↑ Al-Raeei, Marwan (2021). Applying fractional quantum mechanics to systems with electrical screening effects. Chaos, Solitons & Fractals. 150 (September): 111209. Bibcode:2021CSF...15011209A. doi:10.1016/j.chaos.2021.111209.
- ↑ Herrmann, Richard, ред. (2014). Fractional Calculus (вид. 2nd). New Jersey: World Scientific Publishing Co. с. 54[перевірити]. doi:10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6.
- ↑ Caputo, Michele (1967). Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophysical Journal International. 13 (5): 529—539. Bibcode:1967GeoJ...13..529C. doi:10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x.
- ↑ Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro (2015). A new Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel. Progress in Fractional Differentiation and Applications. 1 (2): 73—85. Процитовано 7 August 2020.
- ↑ а б в Algahtani, Obaid Jefain Julaighim (1 серпня 2016). Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model. Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Dynamics and Complexity (англ.). 89: 552—559. Bibcode:2016CSF....89..552A. doi:10.1016/j.chaos.2016.03.026. ISSN 0960-0779.
- ↑ а б Atangana, Abdon; Baleanu, Dumitru (2016). New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model. Thermal Science (англ.). 20 (2): 763—769. arXiv:1602.03408. doi:10.2298/TSCI160111018A. ISSN 0354-9836.
- ↑ Chen, YangQuan; Li, Changpin; Ding, Hengfei (22 May 2014). High-Order Algorithms for Riesz Derivative and Their Applications. Abstract and Applied Analysis[en] (англ.). 2014: 1—17. doi:10.1155/2014/653797.
- ↑ Bayın, Selçuk Ş. (5 December 2016). Definition of the Riesz derivative and its application to space fractional quantum mechanics. Journal of Mathematical Physics. 57 (12): 123501. arXiv:1612.03046. Bibcode:2016JMP....57l3501B. doi:10.1063/1.4968819. S2CID 119099201.
- ↑ а б в г д е ж и к л м н de Oliveira, Edmundo Capelas; Tenreiro Machado, José António (10 червня 2014). A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral. Mathematical Problems in Engineering (англ.). 2014: 1—6. doi:10.1155/2014/238459. hdl:10400.22/5497.
- ↑ а б в Aslan, İsmail (15 січня 2015). An analytic approach to a class of fractional differential-difference equations of rational type via symbolic computation. Mathematical Methods in the Applied Sciences (англ.). 38 (1): 27—36. Bibcode:2015MMAS...38...27A. doi:10.1002/mma.3047. hdl:11147/5562. S2CID 120881978.
- ↑ Ma, Li; Li, Changpin (11 травня 2017). On hadamard fractional calculus. Fractals. 25 (3): 1750033—2980. Bibcode:2017Fract..2550033M. doi:10.1142/S0218348X17500335. ISSN 0218-348X.
- ↑ Miller, Kenneth S. (1975). The Weyl fractional calculus. У Ross, Bertram (ред.). Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics (англ.). Т. 457. Springer. с. 80—89. doi:10.1007/bfb0067098. ISBN 978-3-540-69975-0.
- ↑ Ferrari, Fausto (January 2018). Weyl and Marchaud Derivatives: A Forgotten History. Mathematics (англ.). 6 (1): 6. arXiv:1711.08070. doi:10.3390/math6010006.
- ↑ Khalili Golmankhaneh, Alireza (2022). Fractal Calculus and its Applications. Singapore: World Scientific Pub Co Inc. с. 328. doi:10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7. S2CID 248575991.
- ↑ Anderson, Douglas R.; Ulness, Darin J. (1 червня 2015). Properties of the Katugampola fractional derivative with potential application in quantum mechanics. Journal of Mathematical Physics. 56 (6): 063502. Bibcode:2015JMP....56f3502A. doi:10.1063/1.4922018. ISSN 0022-2488.
- ↑ Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro (1 січня 2016). Applications of New Time and Spatial Fractional Derivatives with Exponential Kernels. Progress in Fractional Differentiation and Applications. 2 (1): 1—11. doi:10.18576/pfda/020101. ISSN 2356-9336.
- ↑ Erdélyi, Arthur (1950–1951). On some functional transformations. Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino. 10: 217—234. MR 0047818.
- ↑ Kober, Hermann (1940). On fractional integrals and derivatives. The Quarterly Journal of Mathematics. os-11 (1): 193—211. Bibcode:1940QJMat..11..193K. doi:10.1093/qmath/os-11.1.193.
- ↑ Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M. (October 2008). Fractional conservation of mass (PDF). Advances in Water Resources (англ.). 31 (10): 1377—1381. Bibcode:2008AdWR...31.1377W. doi:10.1016/j.advwatres.2008.07.004. ISSN 0309-1708.
- ↑ Oldham, K. B. Analytical Chemistry 44(1) 1972 196—198.
- ↑ Pospíšil, L. et al. Electrochimica Acta 300 2019 284—289.
- ↑ Atangana, Abdon; Bildik, Necdet (2013). The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow. Mathematical Problems in Engineering. 2013: 1—9. doi:10.1155/2013/543026.
- ↑ Atangana, Abdon; Vermeulen, P. D. (2014). Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation. Abstract and Applied Analysis. 2014: 1—11. doi:10.1155/2014/381753.
- ↑ Metzler, R.; Klafter, J. (2000). The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Phys. Rep. 339 (1): 1—77. Bibcode:2000PhR...339....1M. doi:10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
- ↑ Mainardi, F.; Luchko, Y.; Pagnini, G. (2001). The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation. Fractional Calculus and Applied Analysis. 4 (2): 153—192. arXiv:cond-mat/0702419. Bibcode:2007cond.mat..2419M.
- ↑ Atangana, Abdon; Kilicman, Adem (2014). On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative. Mathematical Problems in Engineering. 2014: 9. doi:10.1155/2014/542809.
- ↑ Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco (2007). Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk. У Rangarajan, G.; Ding, M. (ред.). Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics. Т. 621. с. 148—166. arXiv:0709.3990. Bibcode:2003LNP...621..148G. doi:10.1007/3-540-44832-2_8. ISBN 978-3-540-40129-2. S2CID 14946568.
- ↑ Colbrook, Matthew J.; Ma, Xiangcheng; Hopkins, Philip F.; Squire, Jonathan (2017). Scaling laws of passive-scalar diffusion in the interstellar medium. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 467 (2): 2421—2429. arXiv:1610.06590. Bibcode:2017MNRAS.467.2421C. doi:10.1093/mnras/stx261. S2CID 20203131.
{{cite journal}}
: Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом (посилання) - ↑ Tenreiro Machado, J. A.; Silva, Manuel F.; Barbosa, Ramiro S.; Jesus, Isabel S.; Reis, Cecília M.; Marcos, Maria G.; Galhano, Alexandra F. (2010). Some Applications of Fractional Calculus in Engineering. Mathematical Problems in Engineering (англ.). 2010: 1—34. doi:10.1155/2010/639801. hdl:10400.22/13143.
- ↑ Holm, S.; Näsholm, S. P. (2011). A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media. Journal of the Acoustical Society of America. 130 (4): 2195—2201. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. doi:10.1121/1.3631626. hdl:10852/103311. PMID 21973374. S2CID 7804006.
- ↑ Näsholm, S. P.; Holm, S. (2011). Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations. Journal of the Acoustical Society of America. 130 (5): 3038—3045. Bibcode:2011ASAJ..130.3038N. doi:10.1121/1.3641457. hdl:10852/103312. PMID 22087931. S2CID 10376751.
- ↑ Näsholm, S. P.; Holm, S. (2012). On a Fractional Zener Elastic Wave Equation. Fract. Calc. Appl. Anal. 16: 26—50. arXiv:1212.4024. doi:10.2478/s13540-013-0003-1. S2CID 120348311.
- ↑ Holm, S.; Näsholm, S. P. (2013). Comparison of fractional wave equations for power law attenuation in ultrasound and elastography. Ultrasound in Medicine & Biology. 40 (4): 695—703. arXiv:1306.6507. CiteSeerX 10.1.1.765.120. doi:10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID 24433745. S2CID 11983716.
- ↑ Holm, S. (2019). Waves with Power-Law Attenuation. Springer and Acoustical Society of America Press. doi:10.1007/978-3-030-14927-7. ISBN 978-3-030-14926-0. S2CID 145880744.
- ↑ Laskin, N. (2002). Fractional Schrodinger equation. Phys. Rev. E. 66 (5): 056108. arXiv:quant-ph/0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. CiteSeerX 10.1.1.252.6732. doi:10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID 12513557. S2CID 7520956.
- ↑ Laskin, Nick (2018). Fractional Quantum Mechanics. CiteSeerX 10.1.1.247.5449. doi:10.1142/10541. ISBN 978-981-322-379-0.
- ↑ Bhrawy, A.H.; Zaky, M.A. (2017). An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations. Applied Numerical Mathematics. 111: 197—218. doi:10.1016/j.apnum.2016.09.009.