Розподіл Парето

Розподіл Парето
Щільність розподілу Функції щільності розподілу Парето типу I для різних $\alpha$ при $x_{\mathrm {m} }=1.$ При тому як $\alpha \rightarrow \infty ,$ розподіл наближається до $\delta (x-x_{\mathrm {m} }),$ де $\delta$ це Дельта-функція Дірака.
Функція розподілу ймовірностей Кумулятивна функція розподілу Парето типу 1 для різних $\alpha$ при $x_{\mathrm {m} }=1.$
Параметри	$x_{\mathrm {m} }>0\,$ масштаб (дійсне) $\alpha >0$ параметр форми (дійсне)
Носій функції	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }$
Середнє	${\begin{cases}\infty &{\text{для }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{для }}\alpha >1\end{cases}}$
Медіана	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Мода	$x_{\mathrm {m} }\,$
Дисперсія	${\begin{cases}\infty &{\text{для }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{для }}\alpha >2\end{cases}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ для }}\alpha >3$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ для }}\alpha >4$
Ентропія	$\log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)$
Твірна функція моментів (mgf)	$\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ для }}t<0$
Характеристична функція	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)$

Розподіл Парето в теорії імовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Названий на честь італійського інженера з цивільного будівництва, економіста, і соціолога Вільфредо Парето. Це степеневий розподіл ймовірностей, який використовується для описання соціальних, наукових, геофізичних, актуарних, та багатьох інших типів спостережуваних явищ. Початково застосовувалася для описання розподілу багатства серед суспільства, що відповідає тенденції, що велика частина багатства зосереджена в руках невеликої частини населення людей. У розмовній версії розподіл Парето відомий як принцип Парето, або "правило 80—20", а також іноді може називатися "ефектом Матвія". Це правило стверджує що, наприклад, 80% багатства суспільства утримують 20% його населення. Однак, розподіл Парето дає цей результат тільки при певному значенні степеня, $\alpha$ (α = log₄5 ≈ 1.16). Хоча $\alpha$ є змінною, емпіричні спостереження установили, що розподіл 80-20 відповідає широкому загалу випадків, включаючи природні явища і діяльність людини.

Визначення

Якщо X є випадковою величиною із розподілом Парето (Типу I), тоді імовірність того, що X є більшою за деяке число x, тобто функція виживання (іноді називається функцією надійності), визначається як

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}$

де x_m де (обов'язково додатне) мінімально можливе значення X, та α є додатнім параметром. Розподіл Парето типу I характеризується параметром масштабування x_m і параметром форми α. Якщо розподіл використовують для моделювання розподілу багатства, тоді параметр α в даному контексті називають індексом Парето.

Властивості

Кумулятивна функція розподілу

Із визначення, кумулятивною функцією розподілу імовірностей випадкової величини Парето із параметрами α і x_m є

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Функція густини імовірностей

Звідси випливає (шляхом диференціювання) що функцією густини імовірностей є

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

При відображені на графіку, функція густини нагадує вигнуту криву, яка асимптотично наближається до кожної із осей. Всі сегменти кривої є самоподібними (з урахуванням відповідних коефіцієнтів масштабування). При зображенні на логарифмічному графіку, розподіл представляється у вигляді прямої лінії.

Моменти і характеристична функція

• Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Парето визначається як

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}$

• Дисперсія випадкової величини, що відповідає розподілу Парето визначається як

$\operatorname {D} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}$

(Якщо α ≤ 1, дисперсія не існує.)

• Загальна формула для визначення моментів є наступною:

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}$

• Твірна функція моментів визначена лише для не додатних значень t ≤ 0, оскільки

$M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

$M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.$

• Характеристична функція випадкової величини визначається як

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

де Γ(a, x) є неповною Гамма-функцією.

Умовний розподіл

Умовний розподіл імовірностей випадкової величини із розподілом Парето, задає подію що величина є більшою або рівною у порівнянні із певним числом $x_{1}$, яке перевищує $x_{\text{m}}$, є розподілом Парето із тим самим індексом Парето $\alpha$, але із мінімальним $x_{1}$ замість $x_{\text{m}}$.

Характеристична теорема

Припустимо, що $X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc$ є незалежні однаково розподілені випадкові величини, розподіл імовірностей яких знаходиться в інтервалі supported $[x_{\text{m}},\infty )$ для деякого значення $x_{\text{m}}>0$. Припустимо, що для всіх $n$, пара випадкових величин $\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ і $(X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ є незалежними. Тоді їх спільний розподіл буде розподілом Парето.

Середнє геометричне

Середнє геометричне (G) визначається як:

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

Середнє гармонійне

Середнє гармонійне (H) визначається як:

$H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).$

Узагальнений розподіл Парето

Існує ієрархія розподілів Парето, що відомі як Парето Тип I, II, III, IV, і розподіл Феллера–Парето. Парето типу IV включає Парето типів I–III як особливі випадки. Розподіл Феллера–Парето узагальнює Парето IV типу.

Парето I–IV типів

Ієрархія розподілів Парето узагальнена у наступній таблиці, яка порівнює функції виживання (доповнена кумулятивна функція розподілу).

Коли μ = 0, розподіл Парето II типу відомий також як розподіл Ломакса.

В даному розділі, символ x_m, що використовується для позначення мінімального значення x, замінено на символ σ.

Розподіли Парето

	${\overline {F}}(x)=1-F(x)$	Умова	Параметри
Тип I	$\left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \sigma$	$\sigma >0,\alpha$
Тип II	$\left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha$
Ломакса	$\left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq 0$	$\sigma >0,\alpha$
Тип III	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0$
Тип IV	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha$

Параметр форми позначено як α, μ - положення, σ це масштаб, γ - параметр нерівності. Деякими особливими випадками розподілу Парето IV типу є:

$P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).$

Скінченність середнього значення, а також існування і скінченність дисперсії залежить від індексу α (індексу нерівності γ). Зокрема, часткові δ-моменти є скінченними для деяких δ > 0, як показано у таблиці нижче, де δ не обов'язково є цілим числом.

Моменти розподілів Парето I–IV (для випадку μ = 0)

	$\operatorname {E} [X]$	Умова	$\operatorname {E} [X^{\delta }]$	Умова
Тип I	${\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}$	$\delta <\alpha$
Тип II	${\frac {\sigma }{\alpha -1}}$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-1<\delta <\alpha$
Тип III	$\sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )$	$-1<\gamma <1$	$\sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}$
Тип IV	${\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-1<\gamma <\alpha$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma$

Розподіл Феллера–Парето

Феллер визначає змінну Парето шляхом перетворення U = Y⁻¹ − 1 випадкової величини Y із Бета-розподілом, функція густини розподілу якої дорівнює

$f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,$

де B( ) - Бета-функція. Якщо

$W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,$

тоді W має розподіл Феллера–Парето FP(μ, σ, γ, γ₁, γ₂).

Якщо $U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)$ і $U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)$ є незалежними Гамма-розподіленими величинами, іншим способом побудувати випадково величину із розподілом Феллера–Парето (ФП) можна як

$W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }$

і ми запишемо W ~ FP(μ, σ, γ, δ₁, δ₂). Особливими випадками розподілу Феллера–Парето є

$FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).$

Дивіться також

• Принцип Парето
• Розподіл Парето для втрат в страхуванні
• Ровномірний розподіл втрат в страхуванні

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Pareto distribution, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

• Weisstein, Eric W. Pareto distribution(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

• Aabergé, Rolf (May 2005), Gini's Nuclear Family (PDF)

• Crovella, Mark E.; Bestavros, Azer (December 1997). Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes (PDF). IEEE/ACM Transactions on Networking. Т. 5, № 6. с. 835—846.

• syntraf1.c - програма на мові програмування C для генерування штучного трафіку пакетів, із обмеженим розміром пакетів і часом між пакетами відповідно до розподілу Парето.