Подовжений трисхилий купол
Ця стаття не має шаблону-картки. Можливо, потрібен шаблон {{Многогранник}}. |
Подовжений трисхилий купол | |
---|---|
Тип | Багатогранник Джонсона J18. |
Властивості | Опуклий, рівносторонній, правильногранний |
Комбінаторика | |
Елементи | 14 граней ((3+1){3} + 3x3{4} + 1{6}) 27 ребер 15 вершин: 6 вершин (3-го степеня) + [6+3](4-го) |
Грані |
4=3+1 Правильних трикутників, |
Характеристика Ейлера |
|
Конфігурація вершини | 6(42.6) 3(3.4.3.4) 6(3.43) |
Вершинна фігура | 3 прямокутника з довжинами сторін 1 та 6 рівнобедрених трикутників з довжинами сторін , , 6 рівнобедрених трапецій з довжинами сторін , , , |
Класифікація | |
Позначення |
• J18 (в нотації Нормана Джонсона[en]) |
Група симетрії |
C3v[en], [3], (*33), порядок 6 |
Група поворотів | C3, [3]+, (33), порядок 3 |
Двоїстий багатогранник | |
Розгортка |
Рівносторонній подовжений трисхилий купол є одним із багатогранників Джонсона (J18 або M4 +П6 (за Залгаллером[1]).
Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Нормана Джонсона[en], який першим перелічив їх в 1966 р. [2]
Подовжений трисхилий купол утворюється поєднанням трисхилого купола та правильної рівносторонньої шестикутної призми по їх шестикутним граням.
Подовжений трисхилий купол складено з 14 граней: 3+1 = 4 правильних трикутників, 3х3 = 9 квадратів та 1 правильного шестикутника.
Чотири трикутних граней оточені трьома квадратами; три квадратні грані оточені трьома трикутними та однією квадратною гранями; три квадратні грані оточені трьома квадратними та однією шестикутною гранями; три квадратні грані оточені однією трикутною, двома квадратними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена шістьма квадратними гранями.
Має 27 ребер однакової довжини: 3+6= 9 ребер розташовані між двома квадратними гранями, 3+3+6=12 ребер — між трикутною та квадратною гранями, решта 6 — між квадратною та шестикутною гранями.
У подовженого трисхилого купола 15 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною та трьома квадратними гранями; 6 вершин оточені двома квадратними та шестикутною гранями.
Подовжений трисхилий купол має вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри трикутної та шестикутної паралельних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої (шестикутної) основи.
Центру симетрії не має.
Подовжений трисхилий купол не належить до елементарних багатогранників Джонсона [2] , так як його можна розділити площиною на два менших опуклих багатогранника з правильними гранями, а саме на трисхилий купол (J3) та рівносторонню шестикутну призму.
Формули[ред. | ред. код]
Діагоналі[ред. | ред. код]
Кількість діагоналей опуклого багатогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.
Для подовженого трисхилого купола:
діагоналей (27 граневих та 51 просторових).
Діагоналі подовженого трисхилого купола з довжиною ребра | ||
---|---|---|
Граневі діагоналі | | |
Просторові діагоналі |
Метричні характеристики[ред. | ред. код]
Для подовженого трисхилого купола з довжиною ребра : | ||
---|---|---|
Вписаної, напіввписаної та описаної сфер
подовжений трисхилий купол не має | ||
Висота H
(Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями) |
||
Площа поверхні | ||
Об'єм | ||
Сферичність |
Кути[ред. | ред. код]
Плоскі кути граней при вершинах: 60°, 90°, 120°.
Кути багатогранника | ||
---|---|---|
Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи | рад = 120° | |
Двогранний кут між гранями {3} та {4} (грані трисхилого купола) |
≈ 2.1862760354 рад ≈ 125°15′ 51.8028′′ | |
Двогранний кут між гранями {3} та {4} (грані між трисхилим куполом та призмою) |
≈ 2.8017557441 рад ≈ 160°31′ 43.6057′′ | |
Двогранний кут між гранями {4} та {4} (грані між трисхилим куполом та призмою) |
≈ 2.5261129449 рад ≈ 144°44′ 8.1971′′ | |
Двогранний кут між гранями {4} та {4} (грані шестикутної призми) |
= рад = 120° | |
Двогранний кут між гранями {4} та {6} | = рад = 90° | |
Тілесний кут при вершині нижньої основи (шестикутної) | ср | |
Тілесний кут при вершині 4.4.4.3 (стик купола та призми) | |
≈ 3.3253545197 ср |
Тілесний кут при вершині верхньої основи (трикутної) | |
≈ 2.461918834 ср |
Центр мас подовженого трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані від нижньої (шестикутної) основи [3].
Координати вершин[ред. | ред. код]
Координати вершин подовженого трисхилого купола з довжиною ребра a = 1: [4]
- , — ці координати визначають три вершини верхньої трикутної грані.
- , , — ці координати визначають шість вершин, що лежать між верхньою (трикутною) та нижньою (шестикутною) паралельними гранями.
- , , — ці координати визначають шість вершин нижньої (шестикутної) грані.
При цьому вісь симетрії подовженого трисхилого купола співпадає з віссю координат Oz, а площина координат xOz співпадає з однією з площин симетрії багатогранника.
Двоїстий багатогранник[ред. | ред. код]
Подовжений трисхилий купол не має канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників співпадають).
Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового подовженого трисхилого купола можуть різнитися.
Двоїстий багатогранник до подовженого трисхилого купола (3-D модель, dJ18),
має 15 граней: 3 дельтоїда, 6 трикутників, 6 чотирикутників; 27 ребер, 14 вершин.
Двоїстий багатогранник | Розгортка двоїстого | Поєднання подовженого трисхилого купола та його двоїстого багатогранника |
---|---|---|
Замощення простору[ред. | ред. код]
Замостити тривимірний простір без проміжків та накладень можна за допомогою подовжених трисхилих куполів, квадратних пірамід (J1) та правильних тетраедрів. [5]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б Залгаллер, 1967.
- ↑ а б в Norman W. Johnson.
- ↑ Elongated triangular cupola centroid - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). Процитовано 1 жовтня 2023.
- ↑ Elongated triangular cupola vertex coordinates - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). Процитовано 8 жовтня 2023.
- ↑ J18 honeycomb. woodenpolyhedra.web.fc2.com. Процитовано 8 жовтня 2023.
Література[ред. | ред. код]
- Norman W. Johnson[en]. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — ISSN 0008-414X. — DOI: . (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
- Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями. — м.—л. : наука, 1967. — Т. 2. — 221 с. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ) (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)
Посилання[ред. | ред. код]
- Weisstein, Eric W. Elongated Triangular Cupola(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Elongated triangular cupola(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- McCooey, David.Elongated Triangular Cupola
- Klitzing, Richard. "etcu"
- Quickfur. «The Elongated Triangular Cupola»