Спіраль Ферма

Спіраль Ферма

Спіраль Ферма (також відома як параболічна спіраль) — це крива, що визначається рівнянням

$r=\pm \ a\theta ^{1/2}\,$

в полярних координатах. Загальніший вигляд рівняння: r ² = a ²θ. Спіраль Ферма є одним з видів спіралі Архімеда.

Втім відмінність від звичайної спіралі Архімеда полягає також у тому, що відстань між сусідніми витками у першій спіралі завжди однакова, а у спіралі Ферма ця закономірність не зберігається.

У Декартовій системі координат рівняння Спіралі Ферма можна записати так:

${\frac {y}{x}}=tan({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}})$

Ця формула може бути доведена завдяки зв'язку між полярною системою координат та декартовою:

$x=a\surd \varphi cos\varphi$; $y=a\surd \varphi sin\varphi$; $\varphi \geq 0$; $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, а також враховуючи, що $\varphi ={\frac {r^{2}}{a^{2}}}$

Спіраль Ферма і квітка соняшнику

Розміщення простих квіток складної квітки соняшнику згідно з моделлю Фогеля (центальне зображення). Два інших зображення показують розміщення при трохи інших значеннях кута.

У квітці соняшнику група спіралей залягає числами Фібоначчі, оскільки дивергенція (кут послідовності в організації спіралей) прямує до золотого відношення. Форма спіралей залежить від росту послідовних елементів. В зрілій квітці (коли всі елементи мають однаковий розмір) спіралі насіння є спіралями Ферма. Це тому що спіралі Ферма перетинають рівня кільця в однакових положеннях. Повна модель була запропонована Фогелем в 1979. Формула має такий вигляд:

$r=c{\sqrt {n}},$

$\theta =n\times 137.508^{\circ },$

де θ — це кут, r — радіус відстані від центру, n — індекс простої квітки і c — це параметр. Кут 137,508° це золотий кут, який є апроксимованим відношенням чисел Фібоначчі.

Див. також

• Логарифмічна спіраль
• Гіперболічна спіраль
• Спіраль Архімеда

Література

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 31, 186. ISBN 0-486-60288-5.

Посилання

• Online exploration using JSXGraph (JavaScript)