Правильний додекаедр
Правильний додека́едр (від грец. δώδεκα — дванадцять і грец. ἕδρα — грань) — правильний дванадцятигранник, об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 п'ятикутних граней, 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.
Формули
Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:
Радіус описаної сфери (сфери що проходить через всі вершини):
Радіус середньої сфери (сфери що проходить через центри всіх ребер):
ʀ
Радіус вписаної сфери (сфери що проходить через центри всіх граней):
Двогранний кут між гранями:
, де - золотий перетин
Приклади в природі
Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.
Вірус поліомієліту має форму додекаедра.
Властивості
- Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
- Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
- Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
- У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
- Додекаедр має три зірчасті форми.
Декартові координати
Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами: (±1, ±1, ±1): (0, ±1/φ, ±φ): (±1/φ, ±φ, 0): (±φ, 0, ±1/φ) де φ = (1+√5)/2 — золотий перетин. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116,565 градусів.
Ця стаття не містить посилань на джерела. (лютий 2018) |
Цей розділ потребує упорядкування для відповідності стандартам якості Вікіпедії. |
|
Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Родина | An | Bn | I₂(p) / Dn | E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂ | Hn | |||||||
Правильний многокутник | Правильний трикутник | Квадрат | p-кутник | Правильний шестикутник | Правильний п'ятикутник | |||||||
Однорідний многогранник | Правильний тетраедр | Правильний октаедр • Куб | Півкуб | Правильний додекаедр • Правильний ікосаедр | ||||||||
Однорідний 4-політоп | П'ятикомірник | 16-комірник • Тесеракт | Півтесеракт | 24-комірник | 120-комірник • 600-комірник | |||||||
Однорідний 5-політоп | Правильний 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-гіперкуб | 5-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний 6-політоп | Правильний 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-гіперкуб | 6-півгіперкуб | 122 • 221 | ||||||||
Однорідний 7-політоп | Правильний 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-гіперкуб | 7-півгіперкуб | 132 • 231 • 321 | ||||||||
Однорідний 8-політоп | Правильний 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-гіперкуб | 8-півгіперкуб | 142 • 241 • 421 | ||||||||
Однорідний 9-політоп | Правильний 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-гіперкуб | 9-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний 10-політоп | Правильний 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-гіперкуб | 10-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний n-політоп | Правильный n-симплекс | n-ортоплекс • n-гіперкуб | n-півгіперкуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-п'ятикутний многогранник | |||||||
Topics: Родини політопів • Правильні політопи • Список правильних політопів і з'єднань |