Сферичний многогранник
Сферичний многогранник або сферична мозаїка — це мозаїка на сфері, в якій поверхню розділено великими дугами на обмежені ділянки, звані сферичними многокутниками. Значна частина теорії симетричних многогранників використовує сферичні многогранники.
Найвідомішим прикладом сферичного многогранника є футбольний м'яч, який можна розглядати як зрізаний ікосаедр.
Деякі «невласні» многогранники, такі як осоедри та двоїсті їм діедри, існують лише як сферичні многогранники і не мають аналогів із плоскими гранями. У таблиці з прикладами нижче {2, 6} — осоедр, а — {6, 2} двоїстий йому діедр.
Історія[ред. | ред. код]
Перші відомі зроблені людиною многогранники — це сферичні многогранники, висічені в камені. Чимало їх знайдено в Шотландії і датовано періодом неоліту.
За часів європейських «темних століть» ісламський учений Абу-ль-Вафа аль-Бузджані написав першу серйозну працю про сферичні многогранники.
На початку XIX століття Пуансо використав сферичні многогранники для виявлення чотирьох правильних зірчастих многогранників.
У середині XX століття Коксетер використав їх для перерахування всіх (за винятком одного) однорідних багатогранників, за допомогою калейдоскопічної побудови (побудова Вітгоффа).
Приклади[ред. | ред. код]
Усі правильні, напівправильні многогранники та двоїсті їм можна спроєктувати на сферу як мозаїку. У таблиці нижче наведено символи Шлефлі {p, q} та схеми вершинних фігур a.b.c. …:
| Символ Шлефлі | {p, q} | t{p, q} | r{p, q} | t{q, p} | {q, p} | rr{p, q} | tr{p, q} | sr{p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершинна фігура | pq | q.2p.2p | p.q.p.q | p. 2q.2q | qp | q.4.p. 4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
| Тетраедричні (3 3 2) |
 33
|
 3.6.6 |
 3.3.3.3 |
 3.6.6
|
 33
|
 3.4.3.4 |
 4.6.6 |
 3.3.3.3.3 |
 V3.6.6 |
 V3.3.3.3
|
V3.6.6
|
 V3.4.4.4
|
 V4.6.6 |
 V3.3.3.3.3 | |||
| Октаедричні (4 3 2) |
 43
|
 3.8.8 |
 3.4.3.4 |
 4.6.6
|
 34
|
 3.4.4.4 |
 4.6.8 |
 3.3.3.3.4 |
 V3.8.8 |
 V3.4.3.4
|
V4.6.6
|
V3.4.4.4
|
 V4.6.8[en]
|
 V3.3.3.3.4 | |||
| Ікосаедричні (5 3 2) |
53
|
 3.10.10 |
 3.5.3.5 |
 5.6.6
|
 35
|
 3.4.5.4 |
 4.6.10 |
 3.3.3.3.5 |
 V3.10.10
|
 V3.5.3.5
|
 V5.6.6
|
 V3.4.5.
|
 V4.6.10 |
 V3.3.3.3.5[en]
| |||
| Діедричні приклади=6 (2 2 6) |
 62
|
 2.12.12 |
2.6.2.6 |
 6.4.4
|
 26
|
 4.6.4 |
 4.4.12[en] |
 3.3.3.6 |
| Клас | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Призма (2 2 p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Біпіраміда (2 2 p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Антипризма | 
|
|
|
|
|
|
|
|
| Трапецоедр |
|
|
|
|
|
|
|
|
Невласні випадки[ред. | ред. код]
Сферичні мозаїки допускають випадки, які неможливі для многогранників, а саме — осоедри, правильні фігури {2,n}, та діедри, правильні фігури {n,2}.
| Малюнок | 
|
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шлефлі | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8}… |
| Коксетер |   
|
|
|
|
|
|
|
| Грані та ребра |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Вершини | 2 | ||||||
| Малюнок |
|
|
|
|
|
| Шлефлі | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2}… |
|---|---|---|---|---|---|
| Коксетер |
|
|
|
|
|
| Грані | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Ребра та вершини |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Зв'язок із мозаїками на проєктивній площині[ред. | ред. код]
Оскільки сфера є дволистим накриттям проєктивної площини, проєктивні многогранники відповідають подвійному накриттю сферичними многогранниками, які мають центральну симетрію.
Найвідомішими прикладами проєктивних многогранників є правильні проєктивні многогранники, утворені з центрально симетричних правильних многогранників, а також із нескінченних сімейств парних діедрів та осоедрів:[1]
- Напівкуб[en], {4,3}/2
- Напівоктаедр[en], {3,4}/2
- Напівдодекаедр, {5,3}/2
- Напівікосаедр, {3,5}/2
- Напівдіедр, {2p,2}/2, p>=1
- Напівосоедр, {2,2p}/2, p>=1
Див. також[ред. | ред. код]
- Теселяція
- Сферична геометрія
- Сферична тригонометрія
- Многогранник
- Проєктивний многогранник[en]
- Тороїдальний многогранник
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Кокстер, 1966, с. 547-552 §3 Правильные карты.
Література[ред. | ред. код]
- Peter McMullen, Egon Schulte. 6C. Projective Regular Polytopes // Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
- L. Poinsot. Memoire sur les polygones et polyèdres // J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Вип. 9. — С. 16–48.
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:.
- H.S.M Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию. — М. : Наука, 1966.
| |||||||||||||||||||||||||