Парадокс Рассела
Парадо́кс Ра́ссела — парадокс, сформульований на початку XX століття відомим британським логіком Бертраном Расселом, який демонструє недосконалість та суперечливість наївної теорії множин. Є розвитком парадоксу Кантора.
Зміст |
Формулювання[ред.]
Парадокс Рассела формулюється так:
- Нехай K — множина всіх множин, які не містять себе в якості свого елемента. Чи містить K само себе в якості елемента? Якщо так, то, за визначенням K, воно не повинно бути елементом K — протиріччя. Якщо ні, то, за визначенням K, воно повинно бути елементом K — знову протиріччя.
Суперечність расселівського парадоксу виникає тому, що в міркуваннях застосовується «наївне» поняття множини всіх множин. Існування такої множини забороняється в аксіоматичних теоріях множин. Доведення несумісності існування множини всіх множин з аксіомами теорії множин по суті є повторенням того міркування, яке складає парадокс Рассела. А саме, припустимо, що множина U всіх множин існує. Виокремимо серед елементів U ті й тільки ті, які не містять себе в якості елемента. З аксіоми виділення випливає, що отримана сукупність — теж множина. Далі питання, чи містить ця нова множина себе в якості елемента, призводить до суперечності, яка доводить неможливість існування U.
Варіанти формулювань[ред.]
- Парадокс цирульника
- В одному селі мешкає лише один цирульник, який «має право голити лише тих мешканців села, кожен з яких сам не здатен поголитися». Чи повинен він голити себе сам?
- Мери міст
- В одній країні вийшов указ: «Мери всіх міст повинні жити не в своєму місті, а в спеціальному Місті мерів». Де повинен жити мер Міста мерів?
- Бібліографічний каталог
- Бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б усі ті і тільки ті каталоги, які не містять посилань на самих себе. Чи повинен такий каталог містити посилання на самого себе?
Див. також[ред.]
Джерела[ред.]
- Bertrand Russell. The Principles of Mathematics
- Хаусдорф Ф. (1937). Теория множеств. Москва, Ленинград: ОНТИ. с. 304. ISBN 978-5-382-00127-2.
- Куратовский К., Мостовский А. (1970). Теория множеств. Москва: Мир. с. 416.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — гл. II, § 4.5
|
|||||||||||||||||||
