Парадокс Рассела

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадо́кс Ра́ссела — парадокс, сформульований на початку XX століття відомим британським логіком Бертраном Расселом, який демонструє недосконалість та суперечливість наївної теорії множин. Є розвитком парадоксу Кантора.

Формулювання[ред.ред. код]

Парадокс Рассела формулюється так:

Нехай K — множина всіх множин, які не містять себе в якості свого елемента. Чи містить K само себе в якості елемента? Якщо так, то, за визначенням K, воно не повинно бути елементом K — протиріччя. Якщо ні, то, за визначенням K, воно повинно бути елементом K — знову протиріччя.

Суперечність расселівського парадоксу виникає тому, що в міркуваннях застосовується «наївне» поняття множини всіх множин. Існування такої множини забороняється в аксіоматичних теоріях множин. Доведення несумісності існування множини всіх множин з аксіомами теорії множин по суті є повторенням того міркування, яке складає парадокс Рассела. А саме, припустимо, що множина U всіх множин існує. Виокремимо серед елементів U ті й тільки ті, які не містять себе в якості елемента. З аксіоми виділення випливає, що отримана сукупність — теж множина. Далі питання, чи містить ця нова множина себе в якості елемента, призводить до суперечності, яка доводить неможливість існування U.

Варіанти формулювань[ред.ред. код]

Парадокс цирульника
В одному селі мешкає лише один цирульник: «чи голить сам себе цирульник, якщо сам цирульник голить усіх, хто не голиться сам».
Мери міст
В одній країні вийшов указ: «Мери всіх міст повинні жити не в своєму місті, а в спеціальному Місті мерів». Де повинен жити мер Міста мерів?
Бібліографічний каталог
Бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б усі ті і тільки ті каталоги, які не містять посилань на самих себе. Чи повинен такий каталог містити посилання на самого себе?

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]