Ознака розбіжності ряду

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Ознака розбіжності ряду — проста ознака, що надає достатню умову розбіжності ряду через властивості його доданків:

Для збіжності ряду $\sum a_{k}$ необхідно, щоб послідовність $(a_{k})$ збігалася до 0. Відповідно для розбіжності ряду достатнім є невиконання цієї умови

Доведення

Припустимо, що ряд збігається. За визначенням збіжності ряду послідовність $s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}$, а отже, і послідовність $(s_{k+1})$ збігаються до деякої спільної скінченної границі $s$. Але $(a_{k+1})=\,(s_{k+1})-\,(s_{k})$ і з властивостей границі послідовності $(a_{k+1}){\xrightarrow {\,}}s-s=0$, тобто послідовність $(a_{k})$ збігається до нуля.

Зауваження

Дана ознака є тільки достатньою, але не необхідною умовою розбіжності, тобто з того, що $(a_{k})$ збігається до нуля не випливає збіжність ряду.

Так, гармонічний ряд $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$ є розбіжним, хоча його доданки прямують до нуля.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)