Диференціальне числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференцюювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на наступних найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і складають предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обгрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна[ред.ред. код]

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудува дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості[ред.ред. код]

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою s(t)=\frac {gt^2}{2}, де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, g \approx 9,8 м/с2. Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту t. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту t, але й від вибору проміжка часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від t до t + \Delta t дорівнює:

\frac {s(t + \Delta t)-s(t)}{\Delta t}=gt + \frac {g}{2} \Delta t \qquad (1)

При необмеженому зменшенні проміжка \Delta t, вираз (1) поступово наближується до gt. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу t. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу t, проміжка часу від t до t + \Delta t та закону руху, який виржається формулою s = f(t). Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від t до t + \Delta t задається формулою \frac {\Delta s}{\Delta t}, де \Delta s = f(t + \Delta t)-f(t), а швидкість руху у момент часу t дорівнює:

v(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t} \qquad (2)

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (t, t + \Delta t). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної[ред.ред. код]

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці M. Нехай крива Г є графіком функції y = f(x). Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута \alpha, який дотична утворює з додатнім напрямом осі Ox.

Позначимо через x_0 абсцису точки M, а через x_1 = x_0 + \Delta x — абсцису точки M_1. Кутовий коефіцієнт січної MM_1 дорівнює:

\tan \beta = \frac {M_1 N}{MN}=\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x},

де \Delta y = M_1 N = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) — приріст функції на проміжку [x_0, x_1]. Якщо визначати дотичну у точці M як граничне положення січної MM_1 при x_1 прямує до нуля, то отримаємо:

\tan \alpha = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .

Поняття похідної[ред.ред. код]

Докладніше у статті Похідна

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції y=f(x) у точці x називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

y' = f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю \lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta q}{\Delta t}, де \Delta q — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час \Delta t, а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції y = f(x) позначають f'(x), y', \frac {dy}{dx}, \frac {df}{dx}, Df(x).

Якщо функція y = f(x) має похідну у точці x_0, то вона визначена як у самій точці x_0, так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці x_0. Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція y = |x| = + \sqrt{x^2}, графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при x = 0 не має похідної, оскільки відношення \frac {\Delta y}{\Delta x} не має границі при \Delta x\to 0: якщо \Delta x > 0це відношення дорівнює +1, а якщо \Delta x < 0, то воно дорівнює -1. Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто y = f(u) та u = \phi (x), або всерівно що y = f[\phi (x)], то \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx} = f'(u) \phi ' (x)

Якщо похідна f'(x) має похідну, то її називають другою похідною функції y = f(x) та позначають y'', f''(x), \frac {d^2 x}{dx^2}, \frac {d^2 f}{dx^2}, D^2 f(x). З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: y^n, f^n (x), \frac {d^n x}{dx^n}, \frac {d^n f}{dx^n}, D^n f(x).

Таблиця похідних[ред.ред. код]

Докладніше у статті Таблиця похідних

Основні похідні[ред.ред. код]

  • Похідна від сталої: (C)' = 0\,
  • Похідна від степеневої функції: (x^n)' = nx^{n-1}\,
  • Похідна від показникової функції: (a^x)' = a^x \ln a\,
  • Похідна від експоненти: (e^x)' = e^x\,
  • Похідна від логарифмічної функції: (\log_{a} x)' = \frac {1}{x\ln a}
  • Похідна від натурального логарифму: (\ln x)' = \frac {1}{x}
  • Похідна від синуса: (\sin x)' = \cos x\,
  • Похідна від косинуса: (\cos x)' = - \sin x\,
  • Похідна від тангенса: (\tan x)' = \frac {1}{\cos^2 x}
  • Похідна від котангенса: (\cot x)' = - \frac {1}{\sin^2 x}
  • Похідна від арксинуса: (\arcsin x)' = \frac {1}{\sqrt{1 - x^2}}
  • Похідна від арккосинуса: (\arccos x)' = \frac {-1}{\sqrt{1 - x^2}}

Правила диференціювання[ред.ред. код]

  • Сталу можна виносити за знак похідної: [Cf(x)]' = Cf'(x)\,
  • Сума та різниця похідних: [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)
  • Добуток похідних: [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,
  • Частка похідних: \left [ \frac {f(x)}{g(x)}\right ] ' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Тут C, n, a (a > 0) — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал[ред.ред. код]

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції y=f(x) називається вираз dy =y'dx, де dx = \Delta x приріст аргументу x.

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Посилання[ред.ред. код]