Диференціальне числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна[ред.ред. код]

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості[ред.ред. код]

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою , де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, м/с2. Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту . Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту , але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від до дорівнює:

При необмеженому зменшенні проміжку , вираз (1) поступово наближується до . Цю величину називають швидкістю руху в момент часу . Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу , проміжку часу від до та закону руху, який виражається формулою . Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від до задається формулою , де , а швидкість руху у момент часу дорівнює:

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (, ). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної[ред.ред. код]

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці . Нехай крива Г є графіком функції . Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута , який дотична утворює з додатнім напрямом осі .

Позначимо через абсцису точки , а через — абсцису точки . Кутовий коефіцієнт січної дорівнює:

,

де — приріст функції на проміжку . Якщо визначати дотичну у точці як граничне положення січної при прямує до нуля, то отримаємо:

.

Поняття похідної[ред.ред. код]

Докладніше у статті Похідна

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції у точці називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю , де — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час , а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції позначають .

Якщо функція має похідну у точці , то вона визначена як у самій точці , так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці . Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція , графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при не має похідної, оскільки відношення не має границі при : якщо це відношення дорівнює , а якщо , то воно дорівнює . Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто та , або всерівно що , то

Якщо похідна має похідну, то її називають другою похідною функції та позначають . З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: .

Таблиця похідних[ред.ред. код]

Докладніше у статті Таблиця похідних

Основні похідні[ред.ред. код]

  • Похідна від сталої:
  • Похідна від степеневої функції:
  • Похідна від показникової функції:
  • Похідна від експоненти:
  • Похідна від логарифмічної функції:
  • Похідна від натурального логарифму:
  • Похідна від синуса:
  • Похідна від косинуса:
  • Похідна від тангенса:
  • Похідна від котангенса:
  • Похідна від арксинуса:
  • Похідна від арккосинуса:

Правила диференціювання[ред.ред. код]

  • Сталу можна виносити за знак похідної:
  • Сума та різниця похідних:
  • Добуток похідних:
  • Частка похідних:

Тут — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал[ред.ред. код]

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції називається вираз , де приріст аргументу x.

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.