Дробове числення

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Дробове числення — частина математичного аналізу, що вивчає різні способи задання дійсного чи комплексного ступеня оператора диференціювання $D$

$$Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,$$

і оператора інтегрування $J$

$$Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,$$

і здійснення числення таких операторів, що узагальнює класичне числення.

Історія

У прикладній математиці та математичному аналізі дробова похідна — це похідна будь-якого довільного порядку, дійсного чи комплексного. Її перша поява в листі, написаному до Гійома де Лопіталя Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем у 1695 році. Приблизно в той самий час Лейбніц написав одному з братів Бернулі, описуючи подібність між біноміальною теоремою та правилом Лейбніца для дробової похідної добутку двох функцій.

Дробове числення було введено в одному з ранніх творів Нільса Генріка Абеля, де можна побачити всі елементи: ідею дробового інтегрування та диференціювання, взаємно обернений зв'язок між ними, розуміння того, що дробове диференціювання та інтегрування можна розглядати як одну й ту саму узагальнену операцію, і навіть уніфікована нотація для диференціювання та інтегрування довільного дійсного порядку.

Незалежно від нього, основи предмета були закладені Ліувіллем у статті 1832 року. Самоучка Олівер Гевісайд представив практичне використання дробових диференціальних операторів в аналізі ліній електропередач приблизно в 1890 році. Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом 19-го та 20-го століть, і численні автори дали різні визначення дробових похідних та інтегралів.

Дробові інтеграли

...

Дробові похідні

...