Багатократний інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Багатокра́тний інтегра́л це обмежений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, f(x, y) або f(x, y, z). Інтеграли функцій двох змінних в області R2 називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення R3 називаються потрійними інтегралами:[1]

Визначення[ред.ред. код]

Так само як і звичайний інтеграл додатної функції однієї змінної задає площу області між графіком функції і віссю x, подвійний інтеграл додатної функції двох змінних визначає об'єм області між поверхнею, що визначається функцією (у тривимірній системі декартових координат де z = f(x, y)) і площиною, що задає її область визначення. [1] Якщо функція має більше змінних, багатократний інтеграл буде задавати гіпероб'єм багатовимірної функції.

Багатократний інтеграл функції із n змінними: f(x1, x2, ..., xn) по області D зазвичай позначають за допомогою послідовних знаків інтегралу в зворотньому порядку виконання (інтеграл позначений знаком зліва буде розраховуватися останнім), за якими записується функція і аргументи інтегрування у відповідному порядку (інтеграл для самого правого аргументу буде розраховуватися останнім). Область інтегрування позначається або символічно для кожного аргументу над кожним знаком інтегралу або, або в скороченій формі задається змінною біля інтегралу , що знаходиться праворуч від усіх:[2]

Геометрична інтерпретація[ред.ред. код]

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних буде інтегруватися

Нехай функція приймає в області тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл чисельно дорівнює об'єму вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні .

Математичне визначення[ред.ред. код]

Для n > 1, розглянемо так звану "пів-відкриту" n-вимірну гіперпрямокутну[en] область значень T, визначену наступним чином:

Розіб'ємо кожен інтервал [aj, bj) на скінченну послідовність підінтервалів Ij, що не перекриваються ijα, де кожен підінтервал є закритим з лівого краю, і відкритим з правого краю.

Скінченна кількість підпрямокутників C буде визначатися наступним чином

і є розбиттям області T; таке що, підпрямокутники Ck не перекриваються, а їх об'єднання буде утворювати T.

Нехай f : TR є функцією визначеною в області T. Розглянемо розбиття C області T описане вище, так що C є сімейством із m підпрямокутниками Cm і

Ми можемо апроксимувати загальний (n + 1)-вимірний об'єм, що обмежує собою n-вимірний гіперпрямокутник T і зверху обмежений n-вимірним графіком функції f за допомогою наступної суми Рімана[en]:

де Pk це точка в Ck і m(Ck) є добуток довжин інтервалів, декартовий добуток яких дорівнює Ck.

Діаметр підпрямокутника Ck буде дорівнювати найбільшій довжині інтервала декартовим добутком якого є Ck. Діаметр даного розбиття T визначається найбільшим діаметром підпрямокутника в розбитті. Інтуїтивно, із обмеженням діаметру розбиття C до все менших і менших значень, кількість підпрямокутників m стає більшою, а міра m(Ck) для кожного підпрямокутника стає меншою. Функцію f називають такою, що має Ріманів інтеграл якщо існує границя

де границя знаходиться для всіх можливих варіантів розбиття T із діаметром δ.[3]

Якщо f інтегрована за Ріманом, то S називають Рімановим інтегралом функції f по області T і позначається наступним чином

Часто цей запис скорочують до наступного вигляду

де x позначає n-кортеж (x1, ... xn) і dnx позначає n-вимірний об'ємний диференціал.

Властивості[ред.ред. код]

Багатократні інтеграли мають більшість властивостей, що є спільними із звичайними інтегралами функцій однієї змінної (лінійність, комутативність, монотонність тощо). Однією з важливих властивостей багатократного інтегралу є те, що значення інтегралу не залежить від порядку інтегрування при певних умовах. Ця властивість відома як Теорема Фубіні.[4]

Методи інтегрування[ред.ред. код]

Вирішення задачі багатократного інтегрування, в більшості випадків, полягає у знаходженні спосбу спростити багатократний інтеграл у послідовний інтеграл із інтегралів однієї змінної, кожен з яких має прямий розв'язок. Для неперервних функцій, це підтверджується Теоремою Фубіні. Іноді, можливо отримати результат за допомогою прямого дослідження без розрахунків.

Далі наведені найпростіші методи інтегрування:[1]

Інтегрування константної функції[ред.ред. код]

Якщо під інтегралом знаходиться константна функція[en] c, інтеграл буде дорівнювати добутку c на вимір області інтегрування. Якщо c = 1 а область є частиною області R2, тоді інтеграл визначає площу області, якщо область буде частиною R3, тоді інтеграл повертає об'єм.

Наприклад. Нехай f(x, y) = 2 і

в такому випадку

,

оскільки із визначення ми маємо наступне:

Використання симетрії[ред.ред. код]

Якщо область інтегрування симетрична відносно початку координат по відношенню хоча б до однієї із змінних інтегрування, а функція що інтегрується є парною[en] по відношенню до цієї змінної, інтеграл дорівнюватиме нулю, оскільки інтеграли над двома половинами області будуть мати однаковий абсолютний об'єм але протилежні знаки. Якщо функція, яка інтегрується є непарною по відношенню до такої змінної, інтеграл дорівнює двом інтегралам для половини цієї області, оскільки значення інтегралів двох половин є рівними.

Приклад 1. Розглянемо функцію f(x,y) = 2 sin(x) − 3y3 + 5 що інтегрується по області

диск із радіусом 1 має центр в початку координат, із включеною межею.

Застосовуючи властивість лінійності, вважаємо, що інтеграл можна розділити на три частини:

Функція 2 sin(x) є парною функцією для змінної x а диск T є симетричним відносно осі y, тому значення першого інтегралу дорівнює 0. Аналогічно, функція 3y3 є парною функцією для y, а T симетрична відносно осі x, і таким чином є єдиною складовою, що впливає на остаточний результат є третій інтеграл. Таким чином початковий інтеграл дорівнює площі диска помноженій на 5, або 5π.

Приклад 2. розглянемо функцію f(x, y, z) = x exp(y2 + z2), оскільки область інтегрування є сферою із радіусом 2 із центром у початку координат,

"Шар" є симетричним відносно всіх трьох осей, але достатньо привести інтеграл по осі x аби показати що він дорівнює нулю 0, оскільки функція є парною функцією відносно цієї змінної.

Заміна змінних[ред.ред. код]

Границі інтегрування часто не є просто взаємозамінними (без нормалізації або із-за складної формули інтегрування). Виконують заміну змінних аби переписати інтеграл таким чином, аби інтегрувати у більш "зручній" області, яку можна описати простішою формулою. Аби це зробити, функцію необхідно привести до нових координат.

Приклад 1a. Функція дорівнює f(x, y) = (x − 1)2 + y; якщо застосувати заміну x′ = x − 1, y′ = y так що x = x′ + 1, y = y буде одержана нова функція f2(x, y) = (x′)2 + y.

  • Аналогічно для області інтегрування, оскільки вона обмежує початкові змінні (x і y, які були перетворені вище в прикладі).
  • диференціали dx і dy трансформуються за допомогою абсолютного значення детермінанта матриці Якобі, що містить частинні похідні перетворення відповідно до нової змінної (розглянемо, як приклад, диференційне перетворення в полярних координатах).

Існує три основні "види" заміни змінних (один для R2, два для R3); однак, в більш загальному випадку заміни можна виконувати за аналогічним принципом.

Полярні координати[ред.ред. код]

Перетворення від декартових до полярних координат.

Для R2 якщо область має кругову симетрію а функція має деякі відповідні характеристики може бути корисним застосувати трансформування в полярні координати (дивись приклад на зображенні). Це означає що загальні точки P(x, y) в декартовій системі координат зміняться відповідними точками в полярній системі координат. Що дозволяє змінити форму області і спростити операції.

Основне рівняння за допомогою якого здійснюється перетворення буде наступним:

Приклад 2a. Функцією є f(x, y) = x + y, застосувавши перетворення отримаємо

Приклад 2b. Функцією є f(x, y) = x2 + y2, в такому випадку маємо:

використовуючи тригонометричну тотожність Піфагора.

Перетворення області виконано за допомогою визначення величини радіусу і величини описаного кута за допомогою інтервалів ρ, φ від початкових x, y.

Приклад перетворення області із декартової системи координат в полярну.

Приклад 2c. Область задається як D = {x2 + y2 ≤ 4}, це окружність радіусом 2; очевидно, що кут який вона покриває це кут всього кола, тому φ змінюється від 0 до 2π, в той час як радіус змінюється від 0 до 2.

Приклад 2d. Область задається як D = {x2 + y2 ≤ 9, x2 + y2 ≥ 4, y ≥ 0}, це кругла духа у додатній відносно осі y півплощині (дивись малюнок); φ описує площину із зміною кута ρ в діапазоні значень від 2 до 3. Таким чином перетворена область буде наступним прямокутником:

Детермінант матриці Якобі для такого перетворення буде наступним:

який було отримано відповідно до часткових похідних для x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ) в першому стовбці відповідно до ρ і в другому стовпці відповідно до φ, так що диференціали dx dy в цьому перетворенні стали замінені на ρ dρ dφ.

Так як функція була перетворена а області були розраховані, стає можливим визначити формулу для заміни змінних в полярних координатах:

φ є дійсним для інтервалу [0, 2π] в той час як ρ, що є мірою довжини, може приймати лише додатні значення.

Приклад 2e. Функцією є f(x, y) = x а область є такою ж як в прикладі 2d. Із попередніх розрахунків для D ми вже знаємо інтервали для ρ (з 2 до 3) і для φ (з 0 до π). Тепер ми змінюємо функцію:

нарешті, застосуємо формулу інтегрування:

Оскільки інтервали відомі, матимемо

Циліндричні координати[ред.ред. код]

Циліндричні координати.

В R3 інтегрування областей що мають круглу основу можна здійснювати за допомогою переходу до циліндричних координат; перетворення функції виконується за допомогою наступних рівнянь:

Область трансформації можна отримати графічним чином, оскільки змінюється лише форма основи, в той час як висота залежить від форми початкового регіону.

Приклад 3a. Регіоном є D = {x2 + y2 ≤ 9, x2 + y2 ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (тобто "труба" основа якої є круглим сектором з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5); після застосування перетворення, буде отримана область:

(це буде паралелепіпед основа якого, подібна до прямокутника з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5).

Оскільки компонент z не змінюється під час перетворення, диференціали dx dy dz змінюються при переході до полярних координат: таким чином вони перетворюються на ρ dρ dφ dz.

В решті решт, стає можливим застосувати остаточну формулу до циліндричних координат:

Цей метод зручно застосовувати у випадку коли області є циліндричними або конічними або для областей де легко виділити інтервал z і перетворити круглу основу і функцію.

Приклад 3b. Функція задана як f(x, y, z) = x2 + y2 + z а область інтегрування є циліндром: D = {x2 + y2 ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5 }. Перетворення D в циліндричні координати є наступним:

а фукнція перетворюється на

Тепер можна застосувати формулу для інтегрування:

продовжуючи перетворення формули отримаємо

Сферичні координати[ред.ред. код]

Сферичні координати.

В R3 деякі області мають сферичну симетрію, таким чином можливо задати координати кожної точки області інтегрування за допомогою двох кутів і однієї відстані. Для цього можливо скористатися переходом до сферичної системи координат; функція перетворюється за допомогою наступних рівнянь:

Точки на осі z не можна точно характеризувати в сферичних координатах, тому θ може змінюватися між значеннями 0 і 2π.

Найкращою областю інтегрування для цього переходу очевидно є сфера.

Приклад 4a. Область задана як D = x2 + y2 + z2 ≤ 16 (сфера із радіусом 4 і центром в початку координат); застосувавши перетворення отримаємо область

Детермінант якобіану для цього перетворення буде наступним:

Диференціали dx dy dz таким чином перетворюються на ρ2 sin(φ) .

Це приводить до остаточної формули інтегрування:

Цей метод краще використовувати у випадках, коли область сферична і коли функцію можна легко спростити за допомогою першої тригонометричної тотожності узагальненої для R3 (див. приклад 4b); в інших випадках більш вдалим може бути застосування циліндричних координат (див. приклад 4c).

Додаткові ρ2 і sin φ взяті із Якобіана.

В наступних прикладах ролі φ і θ були замінені навпаки.

Приклад 4b. D є такою ж областю як і в прикладі 4a, а f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 є функцією що інтегрується. Її перетворення дуже просте:

ми знаємо інтервали перетвореної області T із D:

Таким чином застосовуємо формулу інтегрування:

і з цього ми отримаємо

Приклад 4c. Область D це шар із центром в початку координат і радіусом 3a,

а f(x, y, z) = x2 + y2 - функція інтегрування.

Зважаючи на область інтегрування, зручним має бути використати перехід в сферичну систему координат, на справді, інтервали нових змінних які обмежують нову область T є очевидними:

Однак, застосувавши перетворення ми отримаємо

.

Застосувавши формулу інтегрування, отримаємо:

що є дуже складним для розв'язку. Цю проблему спробуємо вирішити переходом у циліндричну систему координат. Нові інтервали для T будуть наступними

інтервал z було отримано за допомогою розділення кулі на дві напівсфери шляхом вирішення нерівності із формули для D (і виконавши пряме перетворення x2 + y2 у ρ2). Нова функція тоді буде простою ρ2. Застосовуючи формулу інтегрування

.

Тоді ми отримаємо

Завдяки переходу в циліндричні координати стало можливим спростити потрійний інтеграл до простого інтегралу з однією змінною.

Приклади[ред.ред. код]

Подвійний інтеграл по прямокутнику[ред.ред. код]

Припустимо, що ми хочемо проінтегрувати функцію багатьох змінних f по області A:

З цього ми записуємо формулювання багатократного інтегралу

Внутрішній інтеграл застосовується першим, інтегруючи відносно змінної x і приймаючи y за константу, так ніби вона не є змінною інтегрування. Результат цього інтегралу, що є функцією яка залежить від лише від змінної y, потім інтегрують по y.

Тепер інтегруємо результат відносно y.

Іноді, порядок інтегрування можна змінити місцями, тобто, інтегрування спочатку по x потім по y і навпаки дає однаковий результат. Наприклад, виконавши попередні розрахунки змінивши порядок навпаки приведе до того ж результату:

Умови при яких порядок можна змінювати визначає Теорема Фубіні.

Деякі практичні застосування[ред.ред. код]

Як правило, як і для випадку з однією змінною, багатократний інтеграл можна використовувати для пошуку середнього значення функції в рамках заданої множини. Дана множина DRn і інтегрована функція f по D, середнє значення функції f по області задається наступним чином

де m(D) це міра для D.

Крім того, багатократні інтеграли використовуються в багатьох задачах з фізики. Нижче наводяться приклади, які також показують деякі варіації в нотації.

В механіці, момент інерції розраховується як об'ємний інтеграл (потрійний інтеграл) густини зваженої як квадрат відстані від осі:

Гравітаційний потенціал, що пов'язаний із розподіленням маси, що задається мірою Бореля для маси dm в тривимірному евклідовому просторі R3 буде задано як[5]

Якщо задана неперервна функція ρ(x), що задає густину розподілення для x, таким чином що dm(x) = ρ(x)d3x, де d3x є Евклідовим елементом об'єму, тоді гравітаційний потенціал дорівнює

В електромагнетизмі, Рівняння Максвелла для розрахунку загального магнітного і електричного полів можна записати із використанням багатократного інтегралу.[6] В наведеному прикладі, електричне поле, утворене через розподілення електричних зарядів задається за допомогою об'ємної густини заряду ρ() що розраховується за допомогою потрійного інтегралу векторної функції:

Це також можна записати як інтеграл, відповідно до мирі із врахуванням знаку, що буде задавати розподілення заряду.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б в Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (вид. 6th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8. 
  2. Larson; Edwards (2014). Multivariable Calculus (вид. 10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3. 
  3. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (вид. 3rd). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
  4. Jones, Frank (2001). Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett. с. 527–529. Шаблон:ISBN missing
  5. Kibble, Tom W. B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (вид. 5th). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6.  Проігноровано невідомий параметр |title-link= (довідка)
  6. Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (вид. 3rd). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.