Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи
У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).
Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.
Поверхневі інтеграли[ред. | ред. код]
Шмат поверхні
, заданий у параметричні формі:
,
,
, причому
пробігають деяку область
площини, називається гладким, якщо різні пари значень
дають різні точки
, часткові похідні функцій
,
,
неперервні і завжди
де



Якщо поверхня
складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то
називається кусково гладкою.
Гладка поверхня
називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на
, виходячи з будь-якої точки
на
, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в
. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.
Площа гладкої поверхні[ред. | ред. код]
Хай поверхня
задана параметрично:
,
,
, причому
і
пробігають деяку область
площини
,
. Тоді площа
поверхні визначається поверхневим інтегралом
, де
,
,
.
Підінтегральний вираз

називається елементом поверхні.
Якщо
задана явно рівнянням
, причому
пробігають область
(проекцію області
на площину
), то:
, де
,
.
Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду[ред. | ред. код]
Поверхневі інтеграли 1-го роду[ред. | ред. код]
Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.
Нехай деяка функція
визначена і обмежена на гладкій поверхні
. Хай
позначає деяке розбиття
на скінченну кількість елементарних поверхонь
(i = 1, 2 …. і) з площами
,
є найбільшим діаметром елементарних поверхонь
і
— довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю
.
Якщо існує число
з такою властивістю: для кожного
знайдеться таке
, що для кожного розбиття
з
, незалежно від вибору точок
, то
називається поверхневим інтегралом 1-го роду від
по поверхні
і записується
.
Для окремого випадку підінтегрального виразу
число
дає площу
поверхні
.
Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
,
,
,
причому
та
пробігають область
площини
,
.
Якщо поверхня задана явно рівнянням
причому
пробігають область
, то
.
Аналогічні формули вірні, якщо
представлена рівняннями виду
чи
.
Поверхневі інтеграли 2-го роду[ред. | ред. код]
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні
; на кожній замкнутій кривій на
визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
Нехай в точках поверхні
, розташованої однозначно над площиною
і заданою явно рівнянням
, визначена обмежена функцією
. Нехай
є розбиття поверхні
на скінченну кількість елементарних поверхонь
,
,
— найбільший діаметр елементарних поверхонь,
— довільна точка, вибрана на елементарній поверхні
. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні
визначає напрям обходу в площині
, біля кордону проекції
. Площа
цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції
проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).
Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю
. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут
множиться не на площу
(елементарній поверхні
а на взяту із знаком площа
проекції
поверхні
на площину
.
Якщо існує число
з такою властивістю: для кожного
знайдеться таке
, що для кожного розбиття
з
, незалежно від вибору точок
, завжди |
, то
називають поверхневим інтегралом 2-го роду від
за вибраною стороною
і пишуть
.
Якщо
не має взаємно однозначної проекції на площину
, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по
визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.
Якщо
має однозначну проекцію на площину
або
, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:
та
,
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій
на площину
або
.
Нарешті, для трьох функцій
,
,
, визначених на
, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:
.
Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)[ред. | ред. код]
1. Нехай поверхня
має явне представлення
, причому
змінюються в області
. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні
, для якої кут між нормаллю і віссю
є гострим, обчислюється так:

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

де
задана рівнянням
,
— проекція
на площину
, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю
гострий кут. Так само

де
задана рівнянням
,
проекція
на площину
, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.
2. Якщо поверхня
задана в параметричній формі:
,
,
, то



де



дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області
площини
відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду[ред. | ред. код]
Якщо
,
,
— кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями
і
, то
тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.
Поверхневий інтеграл

має для різних незамкнутих поверхонь
і
з однією і тією ж границею
у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

неперервні в однозв'язній просторовій області
(тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні
в
обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла[ред. | ред. код]
Об'єм
тіла (
), обмеженого кусково гладкими поверхнями
, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

чи

чи

або

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні
.
Центр тяжіння та сила притягання[ред. | ред. код]
Якщо поверхня
покрита масою з поверхневою густиною
, то повна маса поверхні
дорівнює

координати
центру тяжіння дорівнюють



компоненти сили притягання
цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку
одиничної маси, дорівнюють




- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.