Поверхневий інтеграл

Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

Розділи в
Математичному аналізі
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля
Диференціальне числ. Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Диференціювання складної функції Степінь Зворотня функція
Інтегральне числення Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний) Інтеграл Рімана Інтеграл Лебега Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Ряди Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбер Радикальна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторне числення Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Формула Остроградського Теорема Гріна Теорема Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізовані Теорія випадкових процесів Варіаційне числення

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли

Шмат поверхні $S$, заданий у параметричні формі: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, причому $(u,v)$ пробігають деяку область $\Gamma$ площини, називається гладким, якщо різні пари значень $(u,v)$ дають різні точки $S$, часткові похідні функцій $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$ неперервні і завжди

$A^{2}+B^{2}+C^{2}>0,$ де

$A={\begin{vmatrix}{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\\{\partial z \over \partial u}&{\partial z \over \partial v}\\\end{vmatrix}},$

$B={\begin{vmatrix}{\partial z \over \partial u}&{\partial z \over \partial v}\\{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\\end{vmatrix}},$

$C={\begin{vmatrix}{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\\\end{vmatrix}}.$

Якщо поверхня $S$ складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то $S$ називається кусково гладкою.

Гладка поверхня $S$ називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на $S$, виходячи з будь-якої точки $M_{0}$ на $S$, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в $M_{0}$. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні

Хай поверхня $S$ задана параметрично: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, причому $u$ і $v$ пробігають деяку область $\Gamma$ площини $u$, $v$. Тоді площа $S$ поверхні визначається поверхневим інтегралом

$\iint \limits _{\Gamma }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$, де

$E={\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)}^{2}$,

$F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}$,

$G={\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)}^{2}$.

Підінтегральний вираз

$\mathrm {d} S={\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

називається елементом поверхні.

Якщо $S$ задана явно рівнянням $z=\phi (x,y)$, причому $(x,y)$ пробігають область $S'$ (проекцію області $S$ на площину $x0y$), то:

$S=\iint \limits _{S^{\prime }}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$, де

$p={\partial z \over \partial x}$, $q={\partial z \over \partial y}$.

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду

Поверхневі інтеграли 1-го роду

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція $f(x,y,z)$ визначена і обмежена на гладкій поверхні $S$. Хай $Z$ позначає деяке розбиття $S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $S_{i}$ (i = 1, 2 …. і) з площами $\Delta S_{i}$, $\Delta (Z)$ є найбільшим діаметром елементарних поверхонь $S_{i}$ і $M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

$S(Z)=\sum _{i=1}^{N}{f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S_{i}}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $Z$. Якщо існує число $I$ з такою властивістю: для кожного $\epsilon >0$ знайдеться таке$\Delta (\epsilon )>0$, що для кожного розбиття $Z$ з $\Delta (Z)<\Delta$, незалежно від вибору точок $M_{i}$ $|S(Z)-I|<\Delta$, то $I$ називається поверхневим інтегралом 1-го роду від $f(x,y,z)$ по поверхні $S$ і записується

$I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s$.

Для окремого випадку підінтегрального виразу $f(x,y,z)\equiv 1$

число $I$ дає площу $S$ поверхні $S$.

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

$x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$,

причому $u$ та $v$ пробігають область $\Gamma$ площини $u$, $v$

$I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s=\iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\mathrm {d} v$.

Якщо поверхня задана явно рівнянням $z=\phi (x,y)$ причому $(x,y)$ пробігають область $S'$, то

$I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s=\iint \limits _{S'}f(x,y,\phi (x,y)){\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y$.

Аналогічні формули вірні, якщо $S$ представлена рівняннями виду $x=\psi (y,z)$ чи $y=\chi (x,z)$.

Поверхневі інтеграли 2-го роду

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні $S$; на кожній замкнутій кривій на $S$ визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні $S$, розташованої однозначно над площиною $x,y$ і заданою явно рівнянням $z=\phi (x,y)$, визначена обмежена функцією $f(x,y,z)$. Нехай $Z$ є розбиття поверхні $S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $S_{i}$, $(i=1,2,....n)$, $\Delta {Z}$ — найбільший діаметр елементарних поверхонь, $M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні $S_{i}$. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні $S_{i}$ визначає напрям обходу в площині $x,y$, біля кордону проекції $S'_{i}$. Площа $\Delta S'_{i}$ цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції $S'_{i}$ проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

$S(Z)=\sum _{i=1}^{N}f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S'_{i}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $Z$. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут $f(M_{i})$ множиться не на площу $\Delta S'_{i}$ (елементарній поверхні $S_{i}$ а на взяту із знаком площа $\Delta S'_{i}$ проекції $S'_{i}$ поверхні $S_{i}$ на площину $x,y$.

Якщо існує число $I$ з такою властивістю: для кожного $\epsilon >0$ знайдеться таке $\Delta (\epsilon )>0$, що для кожного розбиття $Z$ з $\Delta (Z)<\Delta$, незалежно від вибору точок $M_{i}$, завжди |$|S(Z)-I|<\epsilon$, то $I$ називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

$f(x,y,z)$ за вибраною стороною $S$ і пишуть

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} x\;\mathrm {d} y$.

Якщо $S$ не має взаємно однозначної проекції на площину $x,y$, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по $S$ визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо $S$ має однозначну проекцію на площину $y,z$ або $x,z$, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} y\mathrm {d} z$ та

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} z\mathrm {d} x$,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій $S_{i}$ на площину $y,z$ або $x,z$.

Нарешті, для трьох функцій $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$, визначених на $S$, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:

$\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+\iint \limits _{S}Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+\iint \limits _{S}R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y$.

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня $S$ має явне представлення $z=\phi (x,y)$, причому $(x,y)$ змінюються в області $S'$. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні $S$, для якої кут між нормаллю і віссю $z$ є гострим, обчислюється так:

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=-\iint \limits _{S'}f(x,y,\phi (x,y)).$

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{S}f(x,y,\phi (x,y)).$

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} y\mathrm {d} z=-\iint \limits _{S'}f(\psi (y,z),y,z),$

де $S$ задана рівнянням $x=\psi (y,z)$, $S'$ — проекція $S$ на площину $y,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю $x$ гострий кут. Так само

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} z\mathrm {d} x=-\iint \limits _{S'}f(x,\chi (z,x),y)\mathrm {d} z\mathrm {d} x,$

де $S$ задана рівнянням $y=\chi (z,x)$, $S'$ проекція $S$ на площину $x,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня $S$ задана в параметричній формі: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, то

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} z\mathrm {d} x=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

де

$A={\partial (y,z) \over \partial (u,v)}$

$B={\partial (z,x) \over \partial (u,v)}$

$C={\partial (x,y) \over \partial (u,v)}$

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області $\Gamma$ площини $u,v$ відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

$\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\pm \iint \limits _{\Gamma }(PA+QB+RC)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду

Якщо $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями $x,y$ і $z$, то

$\iint \limits _{S}{P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R}\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\pm {\iint \limits _{S}{(P\;\cos \alpha +Q\;\cos \beta \;+R\cos \gamma )}\;\mathrm {d} S}$

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

$\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y$

має для різних незамкнутих поверхонь $S_{1}$ і $S_{2}$ з однією і тією ж границею $C$ у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

$P,Q,R,{\partial P \over \partial x},{\partial Q \over \partial y},{\partial R \over \partial z}$

неперервні в однозв'язній просторовій області $V$ (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні $S$ в $V$ обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

${\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}=0$

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла

Об'єм тіла

Об'єм $\!V$ тіла ($\!V$), обмеженого кусково гладкими поверхнями $\!S$, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

$\!V=\iint _{S}z\;dx\;dy$

чи

$\!V=\iint _{S}x\;dy\;dz$

чи

$\!V=\iint _{S}y\;dz\;dx$

або

$\!V={1 \over 3}\iint _{S}x\;dy\;dz+y\;dz\;dx+z\;dx\;dy$

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні $\!S$.

Центр тяжіння та сила притягання

Якщо поверхня $\!S$ покрита масою з поверхневою густиною $\!\delta (x,y,z)$, то повна маса поверхні $\!S$ дорівнює

$\!M=\iint _{S}\delta (x,y,z)\;dS$

координати $\!(\xi ,\eta ,\zeta )$ центру тяжіння дорівнюють

$\!\xi ={1 \over M}\iint _{S}x\delta (x,y,z)\;dS$

$\!\eta ={1 \over M}\iint _{S}y\delta (x,y,z)\;dS$

$\!\zeta ={1 \over M}\iint _{S}z\delta (x,y,z)\;dS$

компоненти сили притягання $\!F$ цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку $\!M=(x_{0},y_{0},z_{0})$ одиничної маси, дорівнюють

$\!F_{x}=\gamma \iint _{S}{{x-x_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!F_{y}=\gamma \iint _{S}{{y-y_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!F_{z}=\gamma \iint _{S}{{z-z_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!\gamma =const$

Див. також

• Інтегральне числення.

Джерела

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.