Поверхневий інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли[ред.ред. код]

Шмат поверхні , заданий у параметричні формі: , , , причому (u, v) пробігають деяку область площини, називається гладким, якщо різні пари значень дають різні точки , часткові похідні функцій , , неперервні і завжди

Якщо поверхня складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то називається кусково гладкою.

Гладка поверхня називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на , виходячи з будь-якої точки на , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні[ред.ред. код]

Докладніше: Площа поверхні

Хай поверхня задана параметрично: , , , причому і пробігають деяку область площини , . Тоді площа поверхні визначається поверхневим інтегралом

,

де

;

підінтегральний вираз

називається елементом поверхні.

Якщо задана явно рівнянням , причому пробігають область (проекцію області на площину ), то:

,

де

, .

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду[ред.ред. код]

Поверхневі інтеграли 1-го роду[ред.ред. код]

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція визначена і обмежена на гладкій поверхні . Хай позначає деяке розбиття на скінченну кількість елементарних поверхонь (i = 1, 2 …. і) з площами , є найбільшим діаметром елементарних поверхонь і  — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке, що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду від по поверхні і записується

Для окремого випадку підінтегрального виразу

число дає площу поверхні .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

, , ,

причому та пробігають область площини ,

Якщо поверхня задана явно рівнянням причому пробігають область , то

Аналогічні формули вірні, якщо представлена рівняннями виду чи

Поверхневі інтеграли 2-го роду[ред.ред. код]

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні ; на кожній замкнутій кривій на визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні , розташованої однозначно над площиною і заданою явно рівнянням , визначена обмежена функцією . Нехай є розбиття поверхні на скінченну кількість елементарних поверхонь , ,  — найбільший діаметр елементарних поверхонь,  — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні визначає напрям обходу в площині , біля кордону проекції . Площа цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут множиться не на площу (елементарній поверхні а на взяту із знаком площа проекції поверхні на площину .

Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке , що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , завжди |, то називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

за вибраною стороною і пишуть

Якщо не має взаємно однозначної проекції на площину , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо має однозначну проекцію на площину або , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій на площину або .

Нарешті, для трьох функцій , , , визначених на , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:


Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)[ред.ред. код]

1. Нехай поверхня має явне представлення , причому змінюються в області . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні , для якої кут між нормаллю і віссю є гострим, обчислюється так:

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

де задана рівнянням ,  — проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю гострий кут. Так само

де задана рівнянням , проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня задана в параметричній формі: , , , то

де

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області площини відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду[ред.ред. код]

Якщо , ,  — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями і , то

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

має для різних незамкнутих поверхонь і з однією і тією ж границею у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

неперервні в однозв'язній просторовій області (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні в обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла[ред.ред. код]

Об'єм тіла[ред.ред. код]

Об'єм тіла (), обмеженого кусково гладкими поверхнями , можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

чи

чи


або

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні .

Центр тяжіння та сила притягання[ред.ред. код]

Якщо поверхня покрита масою з поверхневою густиною , то повна маса поверхні дорівнює

координати центру тяжіння дорівнюють

компоненти сили притягання цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку одиничної маси, дорівнюють

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.