Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака Коші — Маклорена дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на , Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.

Формулювання теореми[ред. | ред. код]

Нехай для функції f(x) виконується:

  1. (функція набуває невід'ємних значень)
  2. (функція монотонно спадає)
  3. (відповідність функції члену ряду)

Тоді ряд і невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

Начерк доведення[ред. | ред. код]

  1. Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
  2. Площа більшої фігури дорівнює
  3. Площа меншої фігури дорівнює
  4. Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює
  5. Отримуємо
  6. Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .

Повне доведення[ред. | ред. код]

монотонна на

отже збігається

нестрого монотонно зростає

Позначимо

границі і  — скінченні числа, отже і обмежені (ідея)

Нехай збігається інтеграл обмежена обмежена

Нехай тепер збігається сума обмежена , оскільки якщо функція невід'ємна на деякому півінтервалі , то для збіжності інтеграла необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли , де були обмеженими. Теорему доведено.

Приклади[ред. | ред. код]

  • розбіжний, оскільки .
  • збіжний, оскільки .

Оцінка залишку ряду[ред. | ред. код]

Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу

за допомогою нескладних перетворень отримуємо:

.

Див. також[ред. | ред. код]