Теорема Гріна

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру $C$ і подвійним інтегралом по області $D$, обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Формулювання

$D$ — область, обмежена замкнутою кривою $C$

Нехай $C$ — додатно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а $D$ — область, обмежена кривою $C$. Якщо функції $P=P(x,y)$, $Q=Q(x,y)$ визначені в області $D$ і мають неперервні часткові похідні ${\frac {\partial P}{\partial y}}$, ${\frac {\partial Q}{\partial x}}$, то

$\oint _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива $C$ замкнена.

Доведення

Нехай область $D$ — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямку $OY$):

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,y_{1}(x)\leq y\leq y_{2}(x)\}$

Для кривої $C$, що обмежує область $D$, задамо напрямок обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

$\iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{y_{1}(x,y)}^{y_{2}(x,y)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(x,y_{2}(x))-P(x,y_{1}(x)))\,dx=$

$=\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (1)$

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

$\int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{-C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (2)$

$\int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx\quad (3)$

Інтеграл по $C_{1}$ береться зі знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контуру, $C$ напрямок обходу даної частини — від $b$ до $a$.

Криволінійні інтеграли по $C_{2}$ і $C_{4}$ дорівнюватимуть нулю, оскільки $x=\operatorname {const}$:

$\int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx=0\quad (4)$

$\int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx=0\quad (5)$

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

$\iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx$

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою за правої орієнтації площини є від'ємним напрямком, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій $C$ у від'ємному напрямку:

$\iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=-\int \limits _{C}P(x,y)\,dx\quad (6)$

Аналогічно доводиться формула:

$\iint \limits _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dx\,dy=\int \limits _{C}Q(x,y)\,dy\quad (7)$

якщо за область $D$ взяти область, правильну в напрямку $OX$.

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

$\int \limits _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

Зв'язок з формулою Остроградського

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку формули Остроградського:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,$

де $\nabla \cdot \mathbf {F}$ це дивергенція двовимірного векторного поля $\mathbf {F}$, а $\mathbf {\hat {n}}$ це нормаль на границі, що вказує назовні.

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль $\mathbf {\hat {n}}$ у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ це вектор напрямлений вздовж дотичної до кривої, і крива C додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж межі, зовнішня нормаль це вектор напрямлений 90° праворуч від цього; можна обрати $(dy,-dx)$. Цей вектор завдовжки ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.$ Тому $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$

Отже,

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.$

Див. також

• Дискретна теорема Гріна

Джерела

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)