Похідна композиції функцій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці .

Оператор \ Функція
Диференціал 1: 2:

3:

Часткова похідна
Повна похідна

Одновимірний випадок

[ред. | ред. код]

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, де і Нехай також ці функції диференційовані: Тоді їх композиція також диференційована: і її похідна має вигляд:

Зауваження

[ред. | ред. код]

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції де набуває такого вигляду:

Інваріантність форми першого диференціала

[ред. | ред. код]

Диференціал функції в точці має вигляд:

де — диференціал тотожного відображення :

Нехай тепер Тоді , і згідно з ланцюговомим правилом:

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад

[ред. | ред. код]

Нехай Тоді функція може бути записана у вигляді композиції де

Диференціюємо ці функції окремо:

отримуємо

Багатовимірний випадок

[ред. | ред. код]

Нехай дані функції де і Нехай також ці функції диференційовані: і Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

Зокрема, матриця Якобі функції є добутком матриць Якобі функцій і

Наслідки

[ред. | ред. код]
  • Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:

Для часткових похідних складеної функції справедливо

Література

[ред. | ред. код]