Похідна композиції функцій

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці $x_{0}$, а функція g має похідну в точці $y_{0}=f(x_{0})$, тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці $x_{0}$.

Оператор \ Функція	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Диференціал	1: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Часткова похідна	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Повна похідна	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

Одновимірний випадок

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ де $y_{0}=f(x_{0}),$ і $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тоді їх композиція також диференційована: $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$ і її похідна має вигляд:

$h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).$

Зауваження

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції $y=y(x),$ де $x=x(t),$ набуває такого вигляду:

${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.$

Інваріантність форми першого диференціала

Диференціал функції $z=g(y)$ в точці $y_{0}$ має вигляд:

$dz=g'(y_{0})\,dy,$

де $dy$ — диференціал тотожного відображення $y\to y$:

$dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .$

Нехай тепер $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).$ Тоді $dy=f'(x_{0})\,dx$, і згідно з ланцюговомим правилом:

$dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.$

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад

Нехай $h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}.$ Тоді функція $h$ може бути записана у вигляді композиції $h=g\circ f,$ де

$f(x)=3x^{2}-5x,\;g(y)=y^{7}.$

Диференціюємо ці функції окремо:

$f'(x)=6x-5,\;g'(y)=7y^{6},$

отримуємо

$h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).$

Багатовимірний випадок

Нехай дані функції $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ де $y_{0}=f(x_{0}),$ і $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ і $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

$dh(x_{0})=dg(y_{0})*df(x_{0}).$

Зокрема, матриця Якобі функції $h$ є добутком матриць Якобі функцій $g$ і $f:$

${\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.$

Наслідки

• Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:

  $\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert .$

Для часткових похідних складної функції справедливо

• ${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.$