Диферінтеграл — у дробовому численні, частині математичного аналізу, є комбінованим оператором диференціюіання/інтегрування порядок якого може бути довільним дійсним або комплексним числом.
q-диферінтеграл від функції f, позначається
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2146e8d72d844ff078842b940f803d4c0934a771)
і є дробовою похідною (при q > 0) чи дробовим інтегралом (при q < 0). При q = 0, q-диферінтеграл функції тотожний самій функції. Існує багато різних визначень диферінтеграла.
Чотири визначення є найбільш поширеними:
- Диферінтеграл Рімана — ЛіувіляНайпростіше та найуживаніше визначення. Ця формула є узагальненням формули повторного інтегрування Коші. Де,
. ![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6807c921796429fc416b9fff7704b0f118a60251)
- Диферінтеграл Грюнвальда — ЛєтніковаЄ прямим узагальненням визначення похідної. Є більш складним у застосування, а має деякі переваги перед попереднім означенням.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9425ed6583f9404f96a0805e86307fbb405d17)
Позначимо неперервне перетворення Фур'є, як
:
В Фур'є просторі диференціюванню відповідає множення:
Тому,
узагальнюється до
При двосторонньому перетворенні Лапласа
, диференціювання заміняється множенням
Узагальнюючи до довільного порядку і розв'язуючи відносно
, отримаємо
Представлення Н'ютоновими рядами дає інтерполяцію похідними цілих порядків:
Для всіх визначень похідних часткового рорядку справедливо:
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bf525246668f90b28594c7775d8794ff418058)
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff8bbb3cbfc1ded16709ab998e338395466f8ea)
[1]
- лінійність
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e67437ac675fd5f7dbef2d2199ce5b019384d4)
- Правило нуля
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed4c956ddf95fff6000152cdaf7f68e85b2165e)
- Правило для добутку
![{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6fa08b21a9f1757b5349c8b62f7098f9def55e)
- Властивість напівгрупи:
![{\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b}f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bf30a308f20668c2fda607004ee3078cd20ecf)
зазвичай не виконується.