Поверхневий інтеграл: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Немає опису редагування |
оформлення, шаблон |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]] |
[[Файл:Surface integral illustration.svg|250px|thumb|Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи]] |
||
{{Calculus}} |
|||
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л''' |
У [[математика|математиці]] '''поверхне́вий інтегра́л''' — це [[визначений інтеграл]], котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог [[лінійний інтеграл|лінійного інтегралу]]. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і [[векторні поля]] (тобто функції, які повертають [[вектор]]и як значення). |
||
Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у. |
Поверхневі інтеграли мають [[застосування]] у [[фізика|фізиці]], зокрема в класичній теорії [[електромагнетизм]]у. |
||
Рядок 10: | Рядок 11: | ||
: <math>\!A^2+B^2+C^2>0,</math> |
: <math>\!A^2+B^2+C^2>0,</math> |
||
<math> |
: <math> |
||
A=\begin{vmatrix} |
A=\begin{vmatrix} |
||
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\ |
{\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} \\ |
||
Рядок 16: | Рядок 17: | ||
\end{vmatrix}</math> |
\end{vmatrix}</math> |
||
<math> |
: <math> |
||
\;B=\begin{vmatrix} |
\;B=\begin{vmatrix} |
||
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\ |
{\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} \\ |
||
Рядок 22: | Рядок 23: | ||
\end{vmatrix}</math> |
\end{vmatrix}</math> |
||
<math> |
: <math> |
||
\;C=\begin{vmatrix} |
\;C=\begin{vmatrix} |
||
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\ |
{\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} \\ |
||
Рядок 36: | Рядок 37: | ||
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом |
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом |
||
<math>\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>, |
: <math>\iint_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math>, |
||
де |
де |
||
<math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math> |
: <math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math> |
||
<math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math> |
: <math>F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}</math> |
||
<math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>; |
: <math>G= {\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)}^2</math>; |
||
підінтегральний вираз |
підінтегральний вираз |
||
<math>dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math> |
: <math>dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math> |
||
називається ''елементом поверхні''. |
називається ''елементом поверхні''. |
||
Рядок 52: | Рядок 53: | ||
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проекцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то: |
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проекцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то: |
||
<math>S=\iint_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy</math>, |
: <math>S=\iint_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\,dy</math>, |
||
де |
де |
||
Рядок 61: | Рядок 62: | ||
=== Поверхневі інтеграли 1-го роду === |
=== Поверхневі інтеграли 1-го роду === |
||
[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис. 1]] |
[[Файл:Surface integral.png|left|thumb|Рис. 1]] |
||
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>. |
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>. |
||
Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math> — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число |
Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math> — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число |
||
<math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math> |
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math> |
||
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. |
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. |
||
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується |
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\delta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується |
||
<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math> |
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds</math> |
||
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math> |
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math> |
||
Рядок 81: | Рядок 80: | ||
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично: |
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично: |
||
<math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, |
: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, |
||
причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math> |
причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math> |
||
<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv </math> |
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du dv </math> |
||
Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то |
Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то |
||
<math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy </math> |
: <math>\!I=\iint_{S} f(x, y, z)\ ds=\iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx dy </math> |
||
Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math> |
Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math> |
||
=== Поверхневі інтеграли 2-го роду === |
=== Поверхневі інтеграли 2-го роду === |
||
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис. 2]] |
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис. 2]] |
||
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів. |
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів. |
||
Рядок 103: | Рядок 100: | ||
Число |
Число |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>. |
називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>. |
||
Рядок 110: | Рядок 106: | ||
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від |
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від |
||
<math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть |
: <math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть |
||
<math>\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy</math> |
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z) \ dx\; dy</math> |
||
Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях. |
Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях. |
||
Рядок 118: | Рядок 114: | ||
Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду |
Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду |
||
<math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math> |
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math> |
||
<math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx</math> |
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dz dx</math> |
||
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>. |
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>. |
||
Рядок 127: | Рядок 123: | ||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dx\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; dy |
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dx\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; dy |
||
</math> |
</math> |
||
==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ==== |
==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ==== |
||
'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так: |
'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так: |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y)) |
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= - \iint_{S'} f(x, y, \phi(x, y)) |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 141: | Рядок 136: | ||
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то |
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y)) |
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \iint_{S} f(x, y, \phi(x, y)) |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 147: | Рядок 142: | ||
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів: |
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів: |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z) |
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= - \iint_{S'} f(\psi(y, z), y, z) |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 153: | Рядок 148: | ||
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math> — проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само |
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math> — проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx |
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= - \iint_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz dx |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 161: | Рядок 156: | ||
'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то |
'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv |
\iint_{S} f(x, y, z) dx dy= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\; dv |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv |
\iint_{S} f(x, y, z) dy dz= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\; dv |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv |
\iint_{S} f(x, y, z) dz dx= \pm \iint_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\; dv |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 175: | Рядок 170: | ||
де |
де |
||
<math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math> |
: <math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math> |
||
<math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math> |
: <math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math> |
||
<math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math> |
: <math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math> |
||
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо |
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv |
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy =\pm \iint_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\; dv |
||
</math> |
</math> |
||
=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду === |
=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду === |
||
Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math> — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то |
Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math> — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то |
||
Рядок 198: | Рядок 192: | ||
[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис. 3]] |
[[Файл:Surface integral2.png|right|thumb|Рис. 3]] |
||
Поверхневий інтеграл |
Поверхневий інтеграл |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy |
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dz\; dy |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 207: | Рядок 200: | ||
має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції |
має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z} |
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z} |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 213: | Рядок 206: | ||
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли |
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0 |
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0 |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 220: | Рядок 213: | ||
=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] === |
=== [[Об'єм]] [[тіло|тіла]] === |
||
Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду: |
Об'єм <math>\!V</math> тіла (<math>\!V</math>), обмеженого кусково гладкими поверхнями <math>\!S</math>, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду: |
||
<math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math> |
: <math>\!V= \iint_{S} z\; dx\; dy</math> |
||
чи |
чи |
||
<math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math> |
: <math>\!V= \iint_{S} x\; dy\; dz</math> |
||
чи |
чи |
||
<math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math> |
: <math>\!V= \iint_{S} y\; dz\; dx</math> |
||
або |
або |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy |
V= {1 \over 3} \iint_{S} x\; dy\; dz+y\; dz\; dx+ z\; dx\; dy |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 243: | Рядок 235: | ||
=== Центр тяжіння та сила притягання === |
=== Центр тяжіння та сила притягання === |
||
Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює |
Якщо поверхня <math>\!S</math> покрита масою з поверхневою густиною <math>\!\delta(x, y, z)</math>, то повна маса поверхні <math>\!S</math> дорівнює |
||
<math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math> |
: <math>\!M=\iint_{S} \delta(x, y, z)\; dS</math> |
||
координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють |
координати <math>\!(\xi, \eta, \zeta)</math> центру тяжіння дорівнюють |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS |
\xi={1 \over M} \iint_{S} x \delta(x, y, z)\; dS |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS |
\eta={1 \over M} \iint_{S} y \delta(x, y, z)\; dS |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS |
\zeta={1 \over M} \iint_{S} z \delta(x, y, z)\; dS |
||
</math> |
</math> |
||
Рядок 264: | Рядок 255: | ||
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють |
компоненти сили притягання <math>\!F</math> цього розподілу [[маса|маси]], що діє на матеріальну точку <math>\!M=(x_0, y_0, z_0)</math> одиничної маси, дорівнюють |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS |
F_x=\gamma \iint_{S} {{x-x_0} \over r^3}\; dS |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS |
F_y=\gamma \iint_{S} {{y-y_0} \over r^3}\; dS |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\! |
: <math>\! |
||
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS |
F_z=\gamma \iint_{S} {{z-z_0} \over r^3}\; dS |
||
</math> |
</math> |
||
<math>\!\gamma= const</math> |
: <math>\!\gamma= const</math> |
||
== |
== Див. також == |
||
{{Портал|Математика}} |
{{Портал|Математика}} |
||
* [[Інтегральне числення]]. |
* [[Інтегральне числення]]. |
||
== Джерела == |
== Джерела == |
||
* ''Бронштейн И. Н.'', ''Семендяев К. А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил. |
* ''Бронштейн И. Н.'', ''Семендяев К. А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил. |
||
Версія за 20:08, 19 травня 2015
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |
У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).
Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.
Поверхневі інтеграли
Шмат поверхні , заданий у параметричні формі: , , , причому (u, v) пробігають деяку область площини, називається гладким, якщо різні пари значень дають різні точки , часткові похідні функцій , , неперервні і завжди
Якщо поверхня складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то називається кусково гладкою.
Гладка поверхня називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на , виходячи з будь-якої точки на , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.
Площа гладкої поверхні
Хай поверхня задана параметрично: , , , причому і пробігають деяку область площини , . Тоді площа поверхні визначається поверхневим інтегралом
- ,
де
- ;
підінтегральний вираз
називається елементом поверхні.
Якщо задана явно рівнянням , причому пробігають область (проекцію області на площину ), то:
- ,
де
- , .
Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду
Поверхневі інтеграли 1-го роду
Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.
Нехай деяка функція визначена і обмежена на гладкій поверхні . Хай позначає деяке розбиття на скінченну кількість елементарних поверхонь (i = 1, 2 …. і) з площами , є найбільшим діаметром елементарних поверхонь і — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке, що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду від по поверхні і записується
Для окремого випадку підінтегрального виразу
число дає площу поверхні .
Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
- , , ,
причому та пробігають область площини ,
Якщо поверхня задана явно рівнянням причому пробігають область , то
Аналогічні формули вірні, якщо представлена рівняннями виду чи
Поверхневі інтеграли 2-го роду
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні ; на кожній замкнутій кривій на визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
Нехай в точках поверхні , розташованої однозначно над площиною і заданою явно рівнянням , визначена обмежена функцією . Нехай є розбиття поверхні на скінченну кількість елементарних поверхонь , , — найбільший діаметр елементарних поверхонь, — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні визначає напрям обходу в площині , біля кордону проекції . Площа цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).
Число
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут множиться не на площу (елементарній поверхні а на взяту із знаком площа проекції поверхні на площину .
Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке , що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , завжди |, то називають поверхневим інтегралом 2-го роду від
- за вибраною стороною і пишуть
Якщо не має взаємно однозначної проекції на площину , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.
Якщо має однозначну проекцію на площину або , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій на площину або .
Нарешті, для трьох функцій , , , визначених на , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:
Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)
1. Нехай поверхня має явне представлення , причому змінюються в області . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні , для якої кут між нормаллю і віссю є гострим, обчислюється так:
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:
де задана рівнянням , — проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю гострий кут. Так само
де задана рівнянням , проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.
2. Якщо поверхня задана в параметричній формі: , , , то
де
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області площини відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо
Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду
Якщо , , — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями і , то
тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.
Поверхневий інтеграл
має для різних незамкнутих поверхонь і з однією і тією ж границею у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції
неперервні в однозв'язній просторовій області (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні в обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли
Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла
Об'єм тіла
Об'єм тіла (), обмеженого кусково гладкими поверхнями , можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:
чи
чи
або
при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні .
Центр тяжіння та сила притягання
Якщо поверхня покрита масою з поверхневою густиною , то повна маса поверхні дорівнює
координати центру тяжіння дорівнюють
компоненти сили притягання цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку одиничної маси, дорівнюють
Див. також
Джерела
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |