Ознака д'Аламбера
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |
Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:
Якщо для числового ряду існує таке число , , що починаючи з деякого номера виконується нерівність то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера то ряд розбігається. |
Зокрема, якщо існує границя
-
(
)
то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо , а якщо — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.
Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:
- .
- якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
- якщо r > 1, ряд розбіжний;
- якщо для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що ненульове і зрозстаюче, а тому an не наближається до нуля;
- інакше результат не визначений.
Якщо границя в (1) існує, то . Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.
1. Ряд
абсолютно збіжний для всіх комплексних , бо
2. Ряд
розбігається при всіх , бо
3. Якщо , то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди
- і
задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.
Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.[3][4][5][6][7][8][9][10]
У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σan це сума додатніх an. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:
де aN - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.
![]() | Цей розділ потребує доповнення. |
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
- d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
- Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
- Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
- Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Bertrand criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Kummer criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (вид. 4th), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.
- ↑ Rudin, 1976, §3.34
- ↑ Apostol, 1974, §8.14
- ↑ Bromwich, T. J. I'A (1908). An Introduction To The Theory of Infinite Series. Merchant Books.
- ↑ Knopp, Konrad (1954). Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd.
- ↑ Tong, Jingcheng (May 1994). Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series. The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450—452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
- ↑ Ali, Sayel A. (2008). The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series (PDF). The American Mathematical Monthly. 115 (6): 514—524. doi:10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID 16336333. Процитовано 21 листопада 2018.
- ↑ Samelson, Hans (November 1995). More on Kummer's Test. The American Mathematical Monthly. 102 (9): 817—818. doi:10.2307/2974510. JSTOR 2974510.
- ↑ Blackburn, Kyle (4 травня 2012). The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests (PDF). University of Washington College of Arts and Sciences. Процитовано 27 листопада 2018.
- ↑ Ďuriš, František (2009). Infinite series: Convergence tests (Bachelor's thesis). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava. Процитовано 28 листопада 2018.
- ↑ Ďuriš, František (2 лютого 2018). On Kummer's test of convergence and its relation to basic comparison tests. arXiv:1612.05167 [math.HO].
|